空中颗粒物扩散：函数的标度律与相似解

咱们先把问题的前提再明确一遍：当时间达到$t \sim h^2/k$（这里$h$是垂直方向特征尺度，比如边界层高度；$k$是垂直扩散系数）后，垂直方向浓度分布已趋于稳定，因此可以假设浓度$c$与垂直坐标$z$无关，即$c(x,y,z,t)=c(x,y,t)$，同时忽略沉降效应。接下来咱们从经典扩散方程入手，一步步推导相关规律。

1. 从三维扩散方程简化到二维 #

经典的三维对流扩散方程（忽略沉降项）为：
$$
\frac{\partial c}{\partial t} + u\frac{\partial c}{\partial x} + v\frac{\partial c}{\partial y} + w\frac{\partial c}{\partial z} = k_x\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + k_y\frac{\partial^2 c}{\partial y^2} + k_z\frac{\partial^2 c}{\partial z^2}
$$
结合咱们的假设进行简化：

• 因为$c$与$z$无关，所以所有对$z$的偏导项均为0：$\frac{\partial c}{\partial z}=0$，$\frac{\partial^2 c}{\partial z^2}=0$
• 垂直方向已稳定，且忽略沉降，垂直速度$w$的影响可忽略（或垂直方向通量已达平衡）

最终方程简化为二维对流扩散方程：
$$
\frac{\partial c}{\partial t} + u\frac{\partial c}{\partial x} + v\frac{\partial c}{\partial y} = k_x\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + k_y\frac{\partial^2 c}{\partial y^2}
$$
如果是静止无风环境，$u=v=0$，方程进一步简化为二维纯扩散方程：
$$
\frac{\partial c}{\partial t} = k_x\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + k_y\frac{\partial^2 c}{\partial y^2}
$$

2. 求解二维纯扩散方程（点源场景） #

最典型的是瞬时点源释放情况：假设$t=0$时刻，在原点$(0,0)$释放总质量为$M$的颗粒物，初始条件为：
$$
c(x,y,0) = M\delta(x)\delta(y)
$$
其中$\delta$为狄拉克δ函数，用于描述瞬时点源的质量分布。

若扩散各向同性（即$k_x=k_y=k$），方程的解为二维高斯分布：
$$
c(x,y,t) = \frac{M}{4\pi k t} \exp\left( -\frac{x^2 + y^2}{4kt} \right)
$$

3. 核心扩散规律分析 #

从这个解可以推导几个关键结论：

• 时间稀释效应：浓度随时间$t$增加而降低，分母的$t$项说明颗粒物随时间不断扩散，整体浓度被持续稀释。
• 距离衰减规律：浓度随到源点的距离$r=\sqrt{x^2+y2}$增加呈指数衰减，距离越远，浓度下降越快。
• 扩散系数的影响：扩散系数$k$越大，浓度衰减速率越快，说明颗粒物扩散的范围和速度都更大。
• 峰值浓度变化：源点$(x=0,y=0)$的浓度峰值为$\frac{M}{4\pi k t}$，随时间推移持续降低。

如果考虑均匀风场（比如仅x方向有恒定风速$u$），解会变成“移动的高斯云团”——整个浓度分布以风速$u$向下风方向移动：
$$
c(x,y,t) = \frac{M}{4\pi k t} \exp\left( -\frac{(x-ut)^2 + y^2}{4kt} \right)
$$
此时浓度云团的中心位于$(ut, 0)$，随时间向下风方向平移，同时持续向四周扩散。

4. 验证垂直稳定假设的合理性 #

回到初始前提：当$t \sim h^2/k_z$（$k_z$为垂直扩散系数）时，垂直方向的扩散过程已完成，浓度分布不再随时间变化。此时我们可以将垂直方向的浓度积分到整个高度$h$，得到垂直平均浓度，这正好对应我们假设“$c$与$z$无关”的简化思路——垂直方向已达到稳定均匀状态，用平均浓度描述即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathematicing