求证ℓ¹赋范空间到实数集的函数f(x)的连续性

我们先明确已知条件：

• 赋范空间$\ell^1 = \left{ (x_n) : \sum_{n=1}^\infty |x_n| < \infty \right}$，其范数定义为$|x|1 = \sum{n=1}^\infty |x_n|$
• 泛函$f(x) := \sum_{n=1}^\infty x_n \sin(n)$，目标是证明$f$从$(\ell^1, |\cdot|_1)$到通常度量下的$\mathbb{R}$连续。

下面是完整的推导过程：

设任意$x, y \in \ell^1$，我们计算$f(y)-f(x)$的绝对值：
$$\begin{align}
|f(y) - f(x)| &= \left| \sum_{n=1}^\infty y_n \sin(n) - \sum_{n=1}^\infty x_n \sin(n) \right| \
&= \left| \sum_{n=1}^\infty (y_n - x_n) \sin(n) \right| \
&\leq \sum_{n=1}^\infty |y_n - x_n| \cdot |\sin(n)| \quad \text{（利用无穷级数的三角不等式）} \
&\leq \sum_{n=1}^\infty |y_n - x_n| \cdot 1 \quad \text{（因为对所有正整数$n$，$|\sin(n)| \leq 1$恒成立）} \
&= \sum_{n=1}^\infty |(y - x)_n| \
&= |y - x|_1
\end{align}$$

接下来用$\epsilon-\delta$定义验证连续性：
对于任意给定的$\epsilon > 0$，取$\delta = \epsilon$。当$|y - x|_1 < \delta$时，根据上面的推导，有$|f(y) - f(x)| \leq |y - x|_1 < \epsilon$，完全满足连续的定义。

另外补充一个更简洁的思路：赋范空间上的线性泛函连续当且仅当它是有界的。我们可以计算$f$的范数：
$$|f| = \sup_{\substack{x \in \ell^1 \ |x|1 = 1}} |f(x)| \leq \sup{\substack{x \in \ell^1 \ |x|1 = 1}} \sum{n=1}^\infty |x_n| \cdot |\sin(n)| \leq \sup_{\substack{x \in \ell^1 \ |x|_1 = 1}} |x|_1 = 1$$
这说明$f$是有界线性泛函，因此必然连续。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jack