求f(z)=1/(e^z-1-z)在z=0处洛朗级数的前3项

嘿，我来帮你搞定这个问题！你已经迈出了关键的第一步——把分母展开成泰勒级数，接下来其实不用做因式分解，用几何级数的展开技巧就能轻松解决，具体步骤如下：

首先，你已经得到分母的泰勒展开：
$$e^z - 1 - z = \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + o(z^4)$$

我们先把分母里的公因子$\frac{z^2}{2}$提出来，这样原函数就能拆成更易处理的形式：
$$e^z - 1 - z = \frac{z^2}{2}\left(1 + \frac{z}{3} + \frac{z^2}{12} + o(z^2)\right)$$

所以原函数可以改写为：
$$f(z) = \frac{2}{z^2} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{3} + \frac{z^2}{12} + o(z^2)\right)}$$

接下来就用到大家熟悉的几何级数展开了：当$|w| < 1$时，$\frac{1}{1 + w} = 1 - w + w^2 - w^3 + \dots$。这里我们令$w = \frac{z}{3} + \frac{z^2}{12} + o(z^{2)$，只需要展开到$z}2$项就足够了：

1. 先写出展开的前几项：

   • 第一项：$1$
   • 第二项：$-w = -\left(\frac{z}{3} + \frac{z^2}{12}\right)$
   • 第三项：$w^2 = \left(\frac{z}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{z}{3} \cdot \frac{z^2}{12} + \dots$，因为我们只需要到$z^{2$项，后面的高次项可以直接忽略，只取$\frac{z}2}{9}$

2. 把这几项加起来，再合并$z^2$的同类项：
   $$\frac{1}{1 + w} = 1 - \frac{z}{3} - \frac{z^2}{12} + \frac{z^2}{9} + o(z^2) = 1 - \frac{z}{3} + \frac{z^2}{36} + o(z^2)$$

最后把这个结果乘回$\frac{2}{z^2}$，就能得到洛朗级数的前3项了：
$$f(z) = \frac{2}{z^2}\left(1 - \frac{z}{3} + \frac{z^2}{36} + o(z^2)\right) = \frac{2}{z^2} - \frac{2}{3z} + \frac{1}{18} + o(1)$$

所以最终的前3项就是$\frac{2}{z^2}$、$-\frac{2}{3z}$和$\frac{1}{18}$啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Paredes