相似三角形技术问询：已知中位线长度求对应边长

刚学相似三角形碰到这个问题很正常，我来给你把这个推导的逻辑理清楚，再验证下结果的正确性～

一、位似图形推导的核心逻辑依据 #

位似是相似的一种特殊情况，它满足两个关键条件：

• 两个图形相似；
• 对应顶点的连线交于同一点（位似中心），且对应边互相平行（或共线）。

回到你的题目：

1. 位似中心是点A：P是AB中点，Q是AC中点，所以$AP/AB = AQ/AC = 1/2$，且$PQ \parallel BC$（这是三角形中位线的性质，也可以通过相似推导出来）；
2. $\triangle APQ$和$\triangle ABC$的对应顶点连线（AP→AB、AQ→AC、PQ→BC）都经过点A，对应边平行，满足位似图形的定义；
3. 位似比为$1:2$，位似图形的对应边长度比等于位似比，因此$BC = 2 \times PQ = 2 \times 5 = 10$cm。

二、用相似三角形判定定理验证结果 #

如果对位似还不太熟悉，我们可以用更基础的相似三角形判定来验证：

• 已知P是AB中点，Q是AC中点，所以$AP/AB = AQ/AC = 1/2$；
• $\angle PAQ$和$\angle BAC$是同一个角，满足两边对应成比例且夹角相等的相似三角形判定条件；
• 因此$\triangle APQ \sim \triangle ABC$，相似比为$1:2$；
• 根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$PQ/BC = 1/2$，代入PQ=5cm，可得$BC=10$cm。

三、坐标法直观验证 #

我们可以给三角形赋值坐标，用距离公式直接计算：

1. 设点A的坐标为$(0,0)$，点B为$(2a,0)$，点C为$(2b,2c)$（取偶数坐标方便计算中点）；
2. 则P（AB中点）的坐标为$(a,0)$，Q（AC中点）的坐标为$(b,c)$；
3. 计算PQ的长度：$PQ = \sqrt{(b-a)^2 + (c-0)^2}$；
4. 计算BC的长度：$BC = \sqrt{(2b-2a)^2 + (2c-0)^2} = \sqrt{4(b-a)^2 + 4c^2} = 2\sqrt{(b-a)^2 + c^2} = 2 \times PQ$；
5. 代入PQ=5cm，直接得到BC=10cm，结果完全正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sasaki