关于含随机变量累积分布函数的不等式变换合法性的疑问

首先，我们先把$G$和原随机变量$\epsilon$的CDF $F$之间的关系理清楚——因为$G$是$-\epsilon$的累积分布函数，根据CDF的定义，直接能得到：

• $G(x) = \text{Pr}(-\epsilon \leq x) = \text{Pr}(\epsilon \geq -x)$
• 又因为$\epsilon$是连续随机变量，单点概率为0，所以$\text{Pr}(\epsilon \leq -a) = 1 - \text{Pr}(\epsilon > -a) = 1 - \text{Pr}(\epsilon \geq -a) = 1 - G(a)$

把这个转换代入你给出的两个不等式，就能得到更直观的形式：

1. $\text{Pr}(Y=y) \leq G(a)$
2. $\text{Pr}(W=w) \leq 1 - G(a)$

回到你的核心问题：在不对$G$做特定假设（比如零点对称）的前提下，是否允许执行后续推导？

答案得看后续推导的具体内容，但我们可以明确两个核心结论：

• 如果后续推导只依赖$G$作为CDF的通用基本性质（单调不减、右连续、$\lim_{x \to -\infty}G(x)=0$、$\lim_{x \to +\infty}G(x)=1$），以及你给出的初始不等式，那完全没问题。比如从上面两个式子可以直接推出$\text{Pr}(Y=y) + \text{Pr}(W=w) \leq 1$，这个推导不需要对$G$做任何额外限制，只要$G$是合法的CDF就成立。
• 如果后续推导需要用到$G$的特殊性质（比如零点对称$G(x)=1-G(-x)$、凸性、特定分布形式等），那在没有提前假设的前提下绝对不能这么做——因为$G$可以是任意连续随机变量取负后的CDF，没有这些特殊性质的支撑，对应的推导步骤就缺乏理论依据。

总结一下：只要后续推导不超出CDF的通用性质和初始不等式的范围，就可以放心执行；但如果要用到$G$的专属特性，必须先补充对应的假设，否则推导不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Star