二元函数普通导数的链式法则是什么？该法则原理如何理解？

链式法则的核心内容 #

当你有一个二元函数 ( f(x, y) )，而其中的 ( y ) 本身又是 ( x ) 的函数（也就是 ( y = y(x) )）时，( f ) 实际上可以看作是关于 ( x ) 的一元复合函数。此时它对 ( x ) 的普通导数（我们也叫全导数）遵循下面的法则：

df/dx = ∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx

这里的符号要区分清楚：

• df/dx：( f ) 对 ( x ) 的全导数，描述的是当 ( x ) 变化时，( f ) 整体的变化率
• ∂f/∂x：( f ) 对 ( x ) 的偏导数，计算时把 ( y ) 当作固定常数，只看 ( x ) 单独变化对 ( f ) 的影响
• ∂f/∂y：( f ) 对 ( y ) 的偏导数，计算时把 ( x ) 当作固定常数，只看 ( y ) 单独变化对 ( f ) 的影响
• dy/dx：( y ) 作为 ( x ) 的函数的普通导数，描述 ( x ) 变化时 ( y ) 的变化率

为什么这个法则成立？用直观的变化率来理解 #

其实本质就是变化的叠加：当 ( x ) 有一个微小的增量 ( \Delta x ) 时，( f ) 的总变化来自两个渠道：

1. 直接变化：( x ) 本身的变化直接带动 ( f ) 变化。这部分的变化量近似等于偏导数 ( ∂f/∂x ) 乘以 ( \Delta x )——毕竟偏导数的定义就是固定 ( y ) 时，( f ) 对 ( x ) 的变化率。
2. 间接变化：( x ) 的变化先让 ( y ) 发生变化（( \Delta y ≈ dy/dx * \Delta x )），然后 ( y ) 的变化再带动 ( f ) 变化。这部分的变化量近似等于 ( ∂f/∂y * \Delta y )，代入 ( \Delta y ) 的表达式后，就是 ( ∂f/∂y * dy/dx * \Delta x )。

把这两部分加起来，( f ) 的总变化量 ( \Delta f ≈ ∂f/∂x * \Delta x + ∂f/∂y * dy/dx * \Delta x )。两边同时除以 ( \Delta x )，再让 ( \Delta x ) 趋近于0（也就是取极限），就得到了全导数的公式：

df/dx = ∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx

用具体例子验证一下 #

比如取 ( f(x, y) = x^2 + y^3 )，同时 ( y = \sin x )：

• 用链式法则计算：( ∂f/∂x = 2x )，( ∂f/∂y = 3y^2 )，( dy/dx = \cos x )，代入公式得 ( df/dx = 2x + 3y^2 \cos x )
• 直接代入计算：把 ( y = \sin x ) 代入 ( f )，得到 ( f(x) = x^2 + \sin^3 x )，对 ( x ) 求导得 ( 2x + 3\sin^2 x \cos x )，和链式法则的结果完全一致（因为 ( y = \sin x )，所以 ( 3y^2 \cos x = 3\sin^2 x \cos x )）

这样是不是就好理解多了？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John A.