基于函数根的关系：求指定多项式根相关求和式的值

你找的核心思路完全正确！利用对数导数的性质转化求和式是这类问题的标准解法，接下来咱们一步步补全剩余推导：

已知条件回顾 #

给定多项式 $f(x)=x^n - 2x + 2$（$n\ge3$），$r_k$ 是其所有根，目标求和式为：
$$S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(1-r_k)^2}$$

你已经推导得到关键关系式：
$$\frac{d}{dx}\left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right) = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{(x-r_k)^2}$$
变形后可得：
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(x-r_k)^2} = \frac{(f'(x))^2 - f''(x)f(x)}{[f(x)]^2}$$

计算各阶导数及代入值 #

首先计算多项式的一阶、二阶导数：

• 一阶导数：$f'(x) = n x^{n-1} - 2$
• 二阶导数：$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$

接下来代入 $x=1$（因为我们需要的是 $(1-r_k)$ 对应的项），计算各函数值：

• $f(1) = 1^n - 2\times1 + 2 = 1$
• $f'(1) = n\times1^{n-1} - 2 = n - 2$
• $f''(1) = n(n-1)\times1^{n-2} = n(n-1)$

代入求和式计算 #

将上述值代入变形后的求和式：

1. 分子部分：
   $$(f'(1))^2 - f''(1)f(1) = (n-2)^2 - n(n-1)\times1$$
   展开并化简：
   $$(n^2 - 4n + 4) - (n^2 - n) = -3n + 4$$

2. 分母部分：
   $$[f(1)]^2 = 1^2 = 1$$

因此最终结果为：
$$S = \frac{-3n + 4}{1} = 4 - 3n$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zacky