$S^1$的半旋转定义是什么？如何给出其显式映射？

嘿，这个问题问到点子上了！在拓扑或者代数拓扑的证明里提到$S^1$（单位圆）的半旋转，其实是个非常直观的几何变换，我给你掰扯清楚：

什么是圆的半旋转？ #

圆的半旋转就是把圆上的每个点绕圆心旋转180°（也就是π弧度）的变换，说直白点——就是把每个点映射到它关于圆心的对径点（圆上和它隔着圆心正对面的那个点）。对于单位圆$S^1$来说，这个变换是一个自同胚（既是连续双射，逆映射也连续），而且做两次半旋转就会回到原状态（变换的阶是2）。

它的显式映射有几种常见写法（以单位圆$S^1$为例）： #

• 极坐标形式：如果用极坐标$(1, \theta)$表示单位圆上的点（$\theta$是极角，取值范围$[0, 2\pi)$），半旋转的映射就是：
  $$(1, \theta) \mapsto (1, \theta + \pi)$$
  注意如果$\theta + \pi \geq 2\pi$，就取模$2\pi$的结果，本质还是对应对径点。
• 复数形式：单位圆$S^1$可以看作复平面上模为1的复数集合${z \in \mathbb{C} \mid |z|=1}$，这时候半旋转的映射超级简洁：
  $$z \mapsto -z$$
  复数乘以$-1$等价于旋转π弧度，完美对应对径点的变换，这也是拓扑里最常用的表示方式。
• 直角坐标形式：单位圆上的点$(x, y)$满足$x^2 + y^2 = 1$，半旋转后直接把坐标取反：
  $$(x, y) \mapsto (-x, -y)$$
  这个形式最直观，一眼就能看出是对面的点。

如果是一般的圆（圆心在$(a, b)$，半径为$r$），半旋转的显式映射就是找对径点：
$$(x, y) \mapsto (2a - x, 2b - y)$$
原理是圆心$(a,b)$是原点点$(x,y)$和映射后点$(x', y')$的中点，所以$a = \frac{x+x'}{2}$，$b = \frac{y+y'}{2}$，解出来就是上面的式子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tensor_Product