基于实数域公理与序公理的非负实数不等式等价性证明疑问

嘿，我明白你已经搞定了严格不等的情况，那包含等号的等价关系其实可以直接结合你已经掌握的结论，再利用实数序公理里的三分律来推导，咱们一步步拆解清楚：

已知前提：实数域公理、序公理成立，非负实数的平方根存在且唯一；且已证当$a≥0,b≥0$时，$a < b \Leftrightarrow a^2 < b^2$，$a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$。

我们需要证明的是：对非负实数$a,b$，$a \le b \Leftrightarrow a^2 \le b^2 \Leftrightarrow \sqrt{a} \le \sqrt{b}$

第一部分：$a \le b \Leftrightarrow a^2 \le b^2$ #

1. 正向推导：$a \le b \Rightarrow a^2 \le b^2$ #

根据实数序公理的三分律，$a \le b$包含两种互斥的情况：

• 若$a = b$：显然$a^2 = b^{2$，满足$a}2 \le b^2$；
• 若$a < b$：直接套用你已经证明的严格不等结论，可得$a^2 < b^{2$，自然也满足$a}2 \le b^2$。
  两种情况均成立，因此正向推导得证。

2. 反向推导：$a^2 \le b^2 \Rightarrow a \le b$ #

用反证法结合三分律：
假设结论不成立，即$a > b$。根据已知的严格不等结论，当$a > b$且$a,b≥0$时，必有$a^2 > b^{2$，这与前提$a}2 \le b^2$矛盾。
因此假设不成立，只能是$a \le b$，反向推导得证。

第二部分：$a \le b \Leftrightarrow \sqrt{a} \le \sqrt{b}$ #

1. 正向推导：$a \le b \Rightarrow \sqrt{a} \le \sqrt{b}$ #

同样基于三分律拆分情况：

• 若$a = b$：根据非负实数平方根的唯一性，$\sqrt{a} = \sqrt{b}$，满足$\sqrt{a} \le \sqrt{b}$；
• 若$a < b$：套用已知严格不等结论，可得$\sqrt{a} < \sqrt{b}$，自然满足$\sqrt{a} \le \sqrt{b}$。
  正向推导成立。

2. 反向推导：$\sqrt{a} \le \sqrt{b} \Rightarrow a \le b$ #

还是用反证法：
假设$a > b$，根据已知严格不等结论，必有$\sqrt{a} > \sqrt{b}$，这与前提$\sqrt{a} \le \sqrt{b}$矛盾。
因此假设不成立，只能是$a \le b$，反向推导得证。

把两部分的等价关系结合起来，就得到了完整的结论：
$$a \le b \Leftrightarrow a^2 \le b^2 \Leftrightarrow \sqrt{a} \le \sqrt{b}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Salman Qureshi