二次选举中共和党得票数的方差计算问题

嘿，这道题用指示变量拆解的思路非常直观，咱们一步步来推导：

先明确已知条件 #

• 总共有n位独立选民，第一次选举里r人投共和党，n−r人投民主党。
• 下次选举中：
  • 原共和党选民转投民主党的概率为p₁，因此继续投共和党的概率是1-p₁
  • 原民主党选民转投共和党的概率为p₂，因此投共和党的概率就是p₂

利用指示变量拆分问题 #

题目里定义Iᵢ为第i位选民第二次投共和党的指示变量（投则Iᵢ=1，不投则Iᵢ=0），那么第二次共和党得票数X = I₁ + I₂ + ... + Iₙ。

因为选民行为相互独立，根据方差的核心性质：独立随机变量和的方差等于方差的和，也就是：

Var(X) = Var(I₁) + Var(I₂) + ... + Var(Iₙ)

计算单个指示变量的方差 #

对于取值仅为0或1的指示变量I，方差公式可以简化为：Var(I) = E(I) - [E(I)]²，其中E(I)就是I=1的概率。

我们分两类选民分别计算：

1. 原共和党选民（共r个）
   • Iᵢ=1的概率是1-p₁，所以E(Iᵢ) = 1-p₁
   • 代入方差公式：

     Var(Iᵢ) = (1-p₁) - (1-p₁)² = (1-p₁)p₁
     

2. 原民主党选民（共n−r个）
   • Iᵢ=1的概率是p₂，所以E(Iᵢ) = p₂
   • 代入方差公式：

     Var(Iᵢ) = p₂ - p₂² = p₂(1-p₂)
     

总方差计算 #

把两类选民的方差总和加起来，就得到最终结果：

Var(X) = r·p₁(1-p₁) + (n-r)·p₂(1-p₂)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_Abacus