请教：为何集合$A$与$B$间的一一对应是等价关系（出自鲁丁《数学分析原理》）

嘿，我当初啃鲁丁这本《数学分析原理》的时候，也对这个“显然”打了个问号——毕竟刚接触等价关系和双射的时候，这俩概念还没完全揉在一起。其实所谓“显然”，是因为一一对应（双射）的定义刚好完美匹配等价关系的三个核心要求，咱们拆开来捋就明白了：

等价关系的定义是一个满足以下三个条件的关系：自反性、对称性、传递性。咱们逐个验证一一对应关系：

1. 自反性：每个集合和自己都有一一对应 #

这太直观了——取集合A到自身的恒等映射：对每个$x \in A$，映射$f(x)=x$。这个映射既是单射（不同元素不会映射到同一个元素），又是满射（每个元素都被自己映射到），所以是双射。也就是说A和自己存在一一对应，满足自反性。

2. 对称性：如果A和B有一一对应，那B和A也有 #

假设存在双射$f:A \to B$，那$f$的**逆映射$f^{-1}:B \to A$**也是双射。这是双射的基本性质：因为$f$是单射，所以每个B中的元素对应唯一的A中元素；又因为$f$是满射，所以B中每个元素都能找到对应的A中元素，逆映射自然也是单射+满射，也就是一一对应。所以A_B能推出BA，满足对称性。

3. 传递性：如果A_B且BC，那A~C #

假设A到B有双射$f$，B到C有双射$g$，那把这两个映射复合起来：$g \circ f:A \to C$（先做$f$映射到B，再做$g$映射到C）。两个双射的复合还是双射：

• 单射性：如果$g(f(x_1))=g(f(x_2))$，因为$g$是单射，所以$f(x_1)=f(x_2)$；又因为$f$是单射，所以$x_1=x_2$，复合映射是单射。
• 满射性：对任意$z \in C$，因为$g$是满射，存在$y \in B$使得$g(y)=z$；又因为$f$是满射，存在$x \in A$使得$f(x)=y$，所以$g(f(x))=z$，复合映射是满射。

所以复合映射是双射，也就是A和C有一一对应，满足传递性。

这么一看，三个条件全满足，所以一一对应确实是等价关系。鲁丁说“显然”，大概率是默认读者已经熟悉双射的这些基本性质了——毕竟在数学分析里，双射的逆和复合性质都是基础中的基础。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Isaac Newton