Rudin《数学分析原理》第四章习题4：稠密集像的稠密性证明

嘿，这就来一步步拆解这个拓扑学证明题，先把已知条件和前置概念理清楚：

• $f$ 是度量空间 $X$ 到度量空间 $Y$ 的连续映射
• $E$ 是 $X$ 的稠密集
• 先补充Rudin中的极限点定义：$x$是集合$V$的极限点当且仅当$x$的每个开邻域都包含$V$中不等于$x$的点，这个定义等价于“存在$V$中异于$x$的点列收敛到$x$”。另外要注意，稠密集的两种常见定义（一种是闭包等于全空间，另一种是每个开集与该集合相交）在某些场景下并不等价，这里我们采用Rudin体系下的定义来推导。

接下来开始正式证明：

我们的目标是证明 $f(E)$ 在 $f(X)$ 中稠密，也就是要证：对任意 $y \in f(X)$，$y$ 属于 $f(E)$ 的闭包（$\overline{f(E)}$）。

1. 任取 $y \in f(X)$，根据像的定义，必然存在某个 $x \in X$ 使得 $f(x) = y$。
2. 因为 $E$ 在 $X$ 中稠密，所以 $x$ 只有两种可能：
   • 情况1：$x \in E$，此时直接可得 $y = f(x) \in f(E)$，而 $f(E) \subseteq \overline{f(E)}$，所以 $y \in \overline{f(E)}$。
   • 情况2：$x$ 是 $E$ 的极限点。根据Rudin的极限点定义，存在 $E$ 中的点列 ${x_n}$（满足 $x_n \neq x$ 对所有 $n$），使得 $\lim_{n \to \infty} x_n = x$。
3. 由于 $f$ 是度量空间之间的连续映射，度量空间中连续映射的等价刻画是：若点列 ${x_n}$ 收敛到 $x$，则点列 ${f(x_n)}$ 收敛到 $f(x)$。
4. 这里 ${f(x_n)}$ 是 $f(E)$ 中的点列（因为每个 $x_n \in E$），且 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x) = y$。根据极限点的定义，$y$ 是 $f(E)$ 的极限点，因此 $y \in \overline{f(E)}$。

无论哪种情况，$f(X)$ 中的任意点都属于 $f(E)$ 的闭包，这就说明 $f(E)$ 在 $f(X)$ 中稠密。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HAT