求在0点连续但在0点不可二阶导的实值函数f:ℝ→ℝ示例

这里给你一个非常直观的例子，完全满足在0点连续，但0点处不存在二阶导数的要求：

f(x) = x|x|

1. 验证在0点的连续性 #

函数在x=0处的取值是f(0)=0*|0|=0。

• 当x从右侧趋近于0时，lim(x→0+) x|x| = lim(x→0+) x² = 0
• 当x从左侧趋近于0时，lim(x→0-) x|x| = lim(x→0-) x*(-x) = lim(x→0-) -x² = 0

左右极限都等于f(0)，所以函数在0点连续。

2. 分析一阶导数（为二阶导数做铺垫） #

我们可以把f(x)写成分段形式来求导：

• 当x > 0时，f(x) = x²，所以f’(x) = 2x
• 当x < 0时，f(x) = -x²，所以f’(x) = -2x
• 在x=0处，用导数定义计算：
  f’(0) = lim(h→0) [f(0+h)-f(0)]/h = lim(h→0) (h|h|)/h = lim(h→0) |h| = 0

所以一阶导数可以统一写成f’(x) = 2|x|，这个一阶导数在0点是存在的（值为0）。

3. 证明0点处不存在二阶导数 #

现在看二阶导数，我们需要计算f’(x)在0点的导数：

• 右导数：lim(h→0+) [f’(0+h)-f’(0)]/h = lim(h→0+) (2h - 0)/h = 2
• 左导数：lim(h→0-) [f’(0+h)-f’(0)]/h = lim(h→0-) (2|h| - 0)/h = lim(h→0-) (2*(-h))/h = -2

因为右导数（2）和左导数（-2）不相等，根据导数的定义，f’(x)在0点不可导，也就是原函数f(x)在0点处不存在二阶导数。

另外，再给你一个更“经典”的振荡型例子供参考：

f(x) = {
    x² sin(1/x), 当 x ≠ 0
    0, 当 x = 0
}

这个函数同样在0点连续，一阶导数在0点存在，但二阶导数在0点不存在（因为振荡导致极限不存在），不过上面的x|x|例子更直观，容易理解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Beginner