关于可数集的疑问：为何集合S是可数集？（出自鲁丁《数学分析原理》）

嘿，这个问题啃鲁丁的时候确实容易卡壳，我来帮你把逻辑捋明白！

首先咱先锚定核心定义和已知结论：

• 可数集的核心判定：一个集合是可数的，当且仅当它能和**正整数集$\mathbb{N}^{+$**（或者它的无限子集）建立**双射**；退一步说，只要存在从这个集合到$\mathbb{N}}+$的单射，它就是可数的（有限或可数无限）。
• 你提到的关键结论完全正确：正整数集的任何无限子集都是可数集。原因很简单——把这个子集里的元素按从小到大的顺序排列，比如$t_1 < t_2 < t_3 < ...$，然后把$t_n$对应到正整数$n$，这就建立了和$\mathbb{N}^+$的双射，所以这个子集（也就是你说的$T$）必然是可数的。

回到集合$S$的可数性：
如果能找到一个单射$f: S \to T$（也就是$S$里的每个元素都能对应到$T$里唯一的元素，不会有两个不同的$S$元素对应到同一个$T$元素），那$S$的元素数量肯定不会超过$T$的数量。而$T$是可数的，所以$S$要么是有限集，要么是可数无限集——这两种情况都属于“可数集”的范畴。

如果$S$本身是无限集，那它甚至能和$T$建立双射，直接就是可数无限集了。

举个鲁丁书里常见的例子：比如所有有理系数的一元多项式集合$S$，你可以把每个多项式对应到它的系数组成的整数组（比如$a_nx^n+...+a_1x+a_0$对应到$(n, a_n, ..., a_0)$），然后把这个整数组映射到某个正整数的无限子集$T$（比如用素数幂的乘积编码），这样就构造了从$S$到$T$的单射，从而证明$S$可数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Isaac Newton