关于线性映射证明：单一等价条件是否足够的技术问询

当然可以！这个合并后的条件本身就和线性映射的标准定义（可加性+齐次性）完全等价，完全不需要分开验证两个性质，具体推导如下：

• 推导可加性：
  令域$\mathbf{F}$中的$a=1$，$b=1$，代入条件$T(a\vec{v}+b\vec{w}) = aT(\vec{v})+bT(\vec{w})$，可得：
  T(1·$\vec{v}$ + 1·$\vec{w}$) = 1·T($\vec{v}$) + 1·T($\vec{w}$)
  化简后就是$T(\vec{v}+\vec{w})=T(\vec{v})+T(\vec{w})$，直接满足可加性要求。

• 推导齐次性：
  令$b=0$，取域$\mathbf{F}$中任意元素$a$，代入条件可得：
  T(a·$\vec{v}$ + 0·$\vec{w}$) = a·T($\vec{v}$) + 0·T($\vec{w}$)
  化简后就是$T(a\vec{v}) = a T(\vec{v})$，齐次性也直接成立。

反过来，如果一个映射已经满足可加性和齐次性，也能轻松推出这个合并条件：先通过可加性把$T(a\vec{v}+b\vec{w})$拆成$T(a\vec{v}) + T(b\vec{w})$，再对两项分别应用齐次性，就能得到$aT(\vec{v}) + bT(\vec{w})$。

所以你完全可以只用这个合并后的条件来证明映射是线性的，有时候这种方式还能让证明过程更简洁呢！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hushus46