当集合A≠B时，能否定义A×B的子集R为A、B上的等价关系？

咱们先把核心结论摆出来：严格意义上的等价关系只能定义在单个集合上，这是由它的定义性质直接决定的，你的猜想方向完全正确，自反性确实是跨集合定义的关键障碍。

先回顾等价关系的标准定义：一个二元关系R要被称为等价关系，必须满足三个条件，且所有条件都是针对同一个集合X而言的：

• 自反性：对于所有的x ∈ X，都有(x, x) ∈ R
• 对称性：如果(x, y) ∈ R，那么(y, x) ∈ R
• 传递性：如果(x, y) ∈ R 且 (y, z) ∈ R，那么(x, z) ∈ R

回到你的问题：当集合A和B不相等时，想定义A×B的子集作为“等价关系”并作用于A和B，这里的矛盾点就出在自反性上：

• 假设存在元素a ∈ A但a ∉ B，那么(a, a)这个有序对根本不属于A×B（因为第二个元素a不在B里），自然不可能属于R；同理，如果有b ∈ B但b ∉ A，(b, b)也不在A×B中。
• 这直接违反了自反性要求——等价关系要求集合里的每一个元素都能和自身构成有序对属于关系，但跨集合的笛卡尔积里根本容纳不了这类“同集合元素对”。

当然，如果你只是想建立A和B元素之间的某种对应关系，类似等价的“匹配”，那可以考虑双射、或者其他类型的二元关系，但这些都不满足等价关系的严格定义，不能被称为等价关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Isaac Newton