从数组抽取元素时至少3个相同数字的概率计算疑问

嘿，你的核心思路——至少3个相同的概率 = 恰好3个相同的概率 + 恰好4个相同的概率——是完全正确的！不过在细节上需要补充一些前提和修正，帮你理清楚：

首先要明确：这里的抽样一定是有放回抽样。如果是无放回抽取，从5个不同数字里抽4个，每个数字最多出现1次，根本不可能有3个相同的情况，概率直接为0。所以我们默认每次抽取后放回，每次抽到每个数字的概率$p=1/5$，这个你的理解是对的。

1. 恰好4个相同数字的概率计算 #

这个很直观：我们要从5个数字里选1个，然后连续4次都抽到它。计算公式是：
$$
5 \times \left(\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{5}{625} = \frac{1}{125}
$$
这里的“5”对应5种可选的数字（比如全是1、全是2……全是5）。

2. 恰好3个相同数字的概率计算 #

你提到的二项分布公式$\binom{4}{3}p^3(1-p)$，其实是指定某一个特定数字（比如数字1）恰好出现3次的概率。但我们需要的是任意一个数字恰好出现3次的情况，所以需要补充两步：

• 第一步：选哪个数字出现3次，有5种选择；
• 第二步：剩下的1次抽取必须是和这个数字不同的其他4个数字中的任意一个，所以概率是$4/5$（数值上等于$1-p$，但逻辑上要明确是“非该数字”的概率）。

所以恰好3个相同的总概率是：
$$
5 \times \binom{4}{3} \times \left(\frac{1}{5}\right)^3 \times \frac{4}{5} = 5 \times 4 \times \frac{1}{125} \times \frac{4}{5} = \frac{80}{625} = \frac{16}{125}
$$

3. 至少3个相同的总概率 #

把两者相加即可：
$$
\frac{16}{125} + \frac{1}{125} = \frac{17}{125} = 0.136
$$

总结一下：你的$p=1/5$的理解没问题，只是要注意二项分布公式默认是针对单个特定事件的，需要扩展到所有可能的数字情况哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bob_the_builder