常微分方程（ODE）的复值平衡点具有怎样的含义？

在微分方程研究中，找平衡点是稳定性分析的第一步——简单来说，平衡点就是系统状态不再随时间变化的点，数学上定义为满足 $\dot{x}\text{eq}=0$ 的所有 $x\text{eq}$ 值。

咱们来解这个方程：
令 $\dot{x} = 0$，也就是求解方程：
$$x(x^2+1) = 0$$

这个方程的解可以拆成两种情况：

• 当 $x=0$ 时，方程成立，这是一个实平衡点，记作 $x_{\text{eq};1} = 0$
• 当 $x^2+1=0$ 时，解得 $x=\pm i$（$i$ 是虚数单位），这两个是复平衡点，记作 $x_{\text{eq};2,3} = \pm i$

关于平衡点的补充说明 #

在实际的物理、工程这类有现实意义的系统中，我们通常只关注实平衡点，因为复平衡点没有对应的实际物理状态。不过从纯数学角度，它们确实是方程的合法解。

根据标准稳定性理论，我们一般只对实平衡点做稳定性判断：
对原方程的右端函数 $f(x)=x(x^2+1)$ 求导，得到 $f'(x)=3x^2+1$。把实平衡点 $x=0$ 代入，得到 $f'(0)=1>0$，根据一维ODE的稳定性判据，这个平衡点是不稳定的——也就是说，如果系统状态稍微偏离0，就会越来越远离这个点。而复平衡点因为不在实轴上，通常不会讨论它们在实系统中的稳定性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MrYouMath