关于三元集合{a,b,c}是否存在以a为唯一极小元的偏序R的疑问

嘿，你这里其实是对极小元的定义产生了一点常见误解，咱们一步步理清楚：

首先直接给结论：这样的偏序关系是完全存在的。

先明确两个核心定义 #

• 偏序关系：必须满足三个性质：自反性（所有形如(x,x)的有序对都在关系中）、反对称性（若xRy且yRx，则x=y）、传递性（若xRy且yRz，则xRz）。
• 极小元：对于集合中的元素x，如果**不存在集合里的其他元素y（y≠x）**使得yRx，那么x是极小元。这里的关键是“其他元素”——自反对(x,x)完全不影响极小元的判定，因为定义要求y必须不等于x。

构造一个符合要求的偏序例子 #

我们可以定义偏序关系R如下：

R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)}

验证这个关系满足偏序的三个性质：

• 自反性：三个元素的自反对(a,a),(b,b),(c,c)都包含在内，满足要求。
• 反对称性：不存在任何x≠y的情况，同时出现xRy和yRx，满足要求。
• 传递性：检查所有可能的传递组合（比如aRb + bRb → aRb，aRc + cRc → aRc，其他组合要么不存在要么自然成立），满足要求。

现在看极小元的判定：

• 对于a：找不到任何y≠a（也就是b或c）使得yRa，所以a是极小元。
• 对于b：存在a≠b且aRb，不符合极小元的定义，所以b不是极小元。
• 对于c：同理，存在a≠c且aRc，所以c也不是极小元。

这样a就成了这个偏序下的唯一极小元。

解答你的疑惑点 #

你之前误以为(b,b)和(c,c)会让b、c成为极小元，但根据极小元的定义，只有当没有其他元素（≠自身）指向它的时候，元素才是极小元。自反对是元素和自身的关系，完全不触发“存在其他元素yRy”的判定条件——只要有一个不同于b的元素（比如a）和b有aRb的关系，b就不可能是极小元了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者B.LIANG