由生成函数确定序列：求解两个分式生成函数的序列问题

嘿，我来帮你搞定这两个生成函数的系数求解问题！你提到直接展开多项式的方法不适用，那部分分式分解绝对是这类分式生成函数的黄金解法——它能把复杂的分式拆成几个简单的、我们能直接展开成几何级数的分式，咱们一步步来：

第一个生成函数：$F(x) = \frac{1-5x}{1-4x+3x^2}$ #

步骤1：分解分母 #

先把二次分母因式分解：
$$1-4x+3x^2 = (1-x)(1-3x)$$

步骤2：拆分成分式 #

设：
$$\frac{1-5x}{(1-x)(1-3x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1-3x}$$
两边同乘$(1-x)(1-3x)$消去分母：
$$1-5x = A(1-3x) + B(1-x)$$

步骤3：求解系数A和B #

• 令$x=1$：代入得$1-51 = A(1-31) + B(0)$ → $-4 = -2A$ → $A=2$
• 令$x=1/3$：代入得$1-5*(1/3) = A(0) + B(1-1/3)$ → $-2/3 = (2/3)B$ → $B=-1$

所以拆分后：
$$F(x) = \frac{2}{1-x} - \frac{1}{1-3x}$$

步骤4：展开成几何级数 #

我们知道标准几何级数展开式：$\frac{1}{1-rx} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n x^n$，套用到上面的式子：
$$F(x) = 2\sum_{n=0}^{\infty} 1^n x^n - \sum_{n=0}^{\infty} 3^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (2 - 3^n)xn$$
所以系数$a_n = 2 - 3^n$。

第二个生成函数：$G(x) = \frac{3+3x}{1+x-2x^2}$ #

步骤1：分解分母 #

同样先因式分解二次分母：
$$1+x-2x^2 = (1+2x)(1-x)$$

步骤2：拆分成分式 #

设：
$$\frac{3+3x}{(1+2x)(1-x)} = \frac{C}{1+2x} + \frac{D}{1-x}$$
两边同乘$(1+2x)(1-x)$：
$$3+3x = C(1-x) + D(1+2x)$$

步骤3：求解系数C和D #

• 令$x=1$：代入得$3+31 = C(0) + D(1+21)$ → $6=3D$ → $D=2$
• 令$x=-1/2$：代入得$3+3*(-1/2) = C(1 - (-1/2)) + D(0)$ → $3/2 = (3/2)C$ → $C=1$

所以拆分后：
$$G(x) = \frac{1}{1+2x} + \frac{2}{1-x}$$

步骤4：展开成几何级数 #

注意$\frac{1}{1+2x} = \frac{1}{1 - (-2x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n x^n$，再结合标准展开式：
$$G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n x^n + 2\sum_{n=0}^{\infty} 1^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} [(-2)^n + 2]x^n$$
所以系数$a_n = (-2)^n + 2$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者B.Li