3个独立试验之和的方差求解：三位射手总命中次数方差计算

我来一步步拆解这个问题的解法，思路其实很清晰：

• 首先明确变量定义：按照题目设定，令$X_i$为第$i$名射手的命中次数，那么总命中次数$X = X_1 + X_2 + X_3$。
• 利用独立随机变量的核心方差性质：因为各射手的射击相互独立，所以独立随机变量之和的方差等于各变量方差的和，也就是$Var(X) = Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)$。
• 计算单个射手命中次数的方差：每个$X_i$都服从二项分布$Binomial(n_i, p_i)$（$n_i$次独立重复试验，每次命中概率$p_i$），二项分布的方差公式是$Var(X_i) = n_i p_i (1 - p_i)$。这个公式的本质是把$X_i$拆成$n_i$个独立的0-1指示变量（每次射击是否命中），每个指示变量的方差是$p_i(1-p_i)$，加起来就得到$n_i p_i(1-p_i)$。

把这些整合起来，最终的方差结果就是：
$$Var(X) = n_1 p_1 (1-p_1) + n_2 p_2 (1-p_2) + n_3 p_3 (1-p_3)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_ Abacus