共同价值一级价格拍卖均衡策略求解：微分方程问题咨询

我现在正琢磨共同价值一级价格拍卖里的均衡策略，本来是在最大化通用投标者的效用函数，结果走着走着遇到了微分方程——可我从来没学过常微分方程（ODE），完全摸不着解的门道。先把我已经完成的推导部分列出来：

首先是效用函数的积分形式：
$$ \pi= \int_{0}^{\omega}\left(v + y - b(\omega) - b(\omega) + y\right)dy $$

把积分里的项化简一下，其实可以写成：
$$ \pi= \int_{0}^{\omega}\left(v + 2y - 2b(\omega)\right)dy $$

接着对$\omega$求导，得到：
$$\frac{d \pi}{d \omega} = v + 2 \omega -2\left[b(\omega)+ \omega b'(\omega)\right]$$

现在我需要求解后续的方程：
$$3v -...$$
（抱歉这里方程没写完，要是能补全完整形式的话，应该能更精准地分析求解路径）

不过我查了下这类拍卖理论的常见问题，通常可以先试试假设线性形式的解，比如设$b(\omega) = a\omega + c$（$a$和$c$是待确定的常数），把这个形式代入微分方程里，说不定就能解出对应的系数，得到均衡策略的形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zar