关于可数性的判定问询：与可数集双射的集合是否可数？

当然成立！咱们先把可数集的定义掰扯清楚——可数集的核心本质就是：能和某个可数集（不一定非得是正整数集）建立双射关系的集合，甚至更标准的定义是“能和正整数集$\mathbb{N}$建立双射的集合”，但这俩其实是等价的，原因很简单：

• 假设我们有个已知的可数集$B$，那根据定义，$B$和$\mathbb{N}$之间必然存在一个双射$f: \mathbb{N} \to B$；
• 现在题目里说集合$A$和$B$之间存在双射$g: A \to B$；
• 把这两个映射复合一下，得到$f^{-1} \circ g: A \to \mathbb{N}$——这绝对是个双射，因为双射的逆映射还是双射，两个双射的复合也依然是双射；
• 这么一来，$A$就和正整数集$\mathbb{N}$建立了双射，完美符合可数集的标准定义。

换个更直观的角度理解：可数集的“可数”描述的是集合的基数（也就是元素的“个数”，对无限集来说是一种等价类），所有可数集的基数都是$\aleph_0$（阿列夫零）。两个集合能建立双射，就意味着它们的基数完全相同。所以只要$A$和某个可数集基数一样，那它本身肯定也是可数集。

举个接地气的例子：偶数集${2,4,6,\dots}$是可数集吧？要是有个集合$A$能和偶数集一一对应，那你把$A$里的元素先对应到偶数，再把每个偶数除以2对应到正整数，这不就间接和正整数集一一对应了？所以$A$肯定是可数的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Isaac Newton