有理数上的概率测度、密度函数及积分相关技术问题

先从咱们熟悉的常规设定说起：通常概率空间是定义在**连续统（实数集）**上的。举个简单例子，假设我们在区间 $[0,1]\subset \mathbb{R}$ 上定义了平坦分布（也就是均匀分布），这时候有理数子集 $[0,1]\cap \mathbb{Q}$ 的测度是0——毕竟有理数在实数中是测度为0的稀疏集合。

现在我们换个非常规的测度定义思路：把测度的全部“权重”都放在有理数上：

• 所有仅包含无理数的集合，测度直接设为0；
• 而 $[0,1]$ 内的有理数全体 $[0,1]\cap \mathbb{Q}$，测度定义为1。

这时候就有个关键问题：我们能不能在 $[0,1]$ 上毫无障碍地定义出和之前平坦分布完全相同的密度函数呢？

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