交错纽结是否存在同最小交叉数的非交错投影及相关问题

问题1：是否存在交叉数相同的交错纽结投影与非交错纽结投影？ #

答案是肯定的。有不少经典例子可以佐证这一点，比如8₁纽结——这是一个最小交叉数为8的交错素纽结，它既拥有标准的交错8交叉投影，也能找到非交错的8交叉投影。

本质上，投影的交错性只由交叉点的上下交替规律决定，同一个纽结可以通过调整部分线段的穿越关系，在不改变交叉点数量的前提下打破这种交替性，从而得到交叉数相同的非交错投影。

问题2：是否存在交错纽结，其拥有可呈现自身最小交叉数的非交错投影？ #

这个问题的答案同样是肯定的。

先回顾一个核心结论：交错素纽结的约化交错投影的交叉数等于该纽结的最小交叉数（这是原Tait猜想的一部分，现已被严格证明）。但这并不代表所有达到最小交叉数的投影都是交错的。

比如10₁₃₂纽结——这是一个最小交叉数为10的交错素纽结，它的投影集合中就同时包含交错和非交错的10交叉版本。这类例子说明，约化交错投影是获取交错纽结最小交叉数的可靠途径，但最小交叉数投影并非唯一，也不一定都具备交错属性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Santiago Bosch