紧算子T满足ν(T)=1时，其绝对值的数值半径能否大于1？

假设$T$是复希尔伯特空间$H$上的紧算子，我们定义$|T| \equiv (T^* T)^{1/2}$为$T$的绝对值——显然$|T|$也是紧自伴算子。

已知$T$的数值半径$\nu(T)=1$，即
$$
\nu(T) \equiv \sup { | \langle Tx, x \rangle | : |x|=1} = 1,
$$
我们很容易得到$\nu(|T|) = |T|$，而且$|T| \geq \nu(T) = 1$。现在我有个疑问：是否存在这样的紧算子$T$，它满足$\nu(T)=1$，同时$\nu(|T|) > 1$？

我之前试着去证明相关的结论，但一直没找到确定的答案，想和大家探讨一下这个问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cdamle