满足|𝑃(𝑥)|≤𝐶(1+|𝑥|)^(5/2)的多项式次数问题求证

我最近遇到这么一个多项式相关的问题：假设 ( P(x) ) 是关于 ( x ) 的实系数多项式，满足对所有 ( x \in \mathbb{R} )，以及某个常数 ( C > 0 )，都有 ( |P(x)| \leq C(1+|x|)^{5/2} ) 成立。现在有四个选项：

• 1. ( P ) 必为一次多项式；
• 2. ( P ) 的次数至多为2；
• 3. ( P ) 是三次或四次多项式；
• 4. ( P(0) ) 恒等于 ( C )。

我自己判断选项2是正确的，思路是从复分析里的刘维尔定理来的，但不知道怎么把这个思路转化成严谨的证明过程。想请教一下，如果要证明选项2成立，具体应该怎么做？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user520629