求证序列$x_n := \frac{n}{n^2+16}$的3-尾单调递减及相关疑问

首先明确要解决的问题与提示：

• 待证命题：证明由公式 $x_n := \frac{n}{n^2+16}$ 定义的序列的3-尾（即从第4项开始的子序列，对应 $n \geq 4$）单调递减。
• 题目提示：假设 $n \geq m \geq 4$，分析 $x_n - x_m$ 的分子符号来推导结论。

我目前对这个问题的解法存在困惑，自己梳理了一个思路但不确定是否可行：通常证明序列单调递减的常规方法，是证明对所有 $n \in \mathbb{N}$，都满足 $x_n \geq x_{n+1}$。那我想请教——如果能直接证明整个序列 $x_n := \frac{n}{n^2+16}$ 单调递减，是不是就可以直接推出它的3-尾必然也是单调递减的？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Madhav Nakar