三元函数是否可能无等值面？附具体函数求解与绘图疑问

首先直接回答你的第一个问题：完全没有等值面的三元函数是存在的。最典型的例子就是常数函数，比如$f(x,y,z)=3$。对于这类函数，方程$f(x,y,z)=k$只有当$k=3$时才有解，但解是整个三维空间（所有$(x,y,z)$都满足），这显然不是我们通常说的“等值面”（一般指二维的曲面）；而当$k≠3$时，方程没有任何解。所以常数函数就属于没有常规意义上等值面的情况。

接下来分析你提到的具体函数$p(x,y,z) = e^{-x2-y^2-4z2}$：
我们先明确这个函数的值域：因为$-x^2-y2-4z^2$的取值范围是$(-∞, 0]$，所以指数运算后，$p(x,y,z)$的值域是$(0, 1]$。这意味着：

• 当$k≤0$或者$k>1$时，方程$p(x,y,z)=k$没有解，自然不存在等值面；
• 当$k=1$时，方程变为$e^{-x2-y^2-4z2}=1$，即$-x^2-y2-4z^2=0$，解只有点$(0,0,0)$，这是一个点，不是二维的曲面；
• 当$0<k<1$时，你的变形是对的：$ln(k)=-x^2-y2-4z^{2$，整理后得到$x}2+y^2+4z2=-ln(k)$。令$C=-ln(k)$（此时$C>0$），方程可写成$\frac{x^2}{C} + \frac{y^2}{C} + \frac{z^2}{C/4}=1$，这是一个旋转椭球面，是标准的等值面。

你绘图遇到困难，大概率是这几个原因：

• 不小心选了$k≤0$或者$k>1$的取值，导致没有解可绘制；
• 选了接近1的$k$值（比如$k=0.99$），此时$C=-ln(0.99)≈0.01$，椭球面非常小，几乎缩成一个点，绘图软件可能显示不出来；
• 绘图时的坐标轴范围设置过大，小的椭球面被“淹没”在大的显示区域里，调整坐标轴范围到较小的区间（比如$x,y∈[-1,1]$，$z∈[-0.5,0.5]$）就能看到了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TomD