指数分布概率计算咨询：超市排队等待时间概率求解

嘿，我来帮你拆解这个超市排队等待时间的指数分布问题！先明确核心前提：指数分布的均值$E(X)=1/\lambda$，题目里平均等待时间是4分钟，所以率参数$\lambda=1/4=0.25$。下面逐个解决三个问题：

问题(i)：等待时间恰好为3分钟的概率 #

首先要记住：连续型随机变量在单个点上的概率为0。指数分布是连续分布，等待时间恰好等于3分钟这个单点的概率，就像在一条线上取一个点的长度——长度为0，所以这个概率是$\boldsymbol{0}$。

问题(ii)：等待时间超过4分钟的概率 #

我们用指数分布的累积分布函数$F(x)=1-e^{-\lambda x}$来计算，$P(X>4)=1-P(X\leq4)=1-F(4)$。代入$\lambda=0.25$：

P(X>4) = 1 - (1 - e^{-0.25*4}) = e^{-1} ≈ 0.3679

也就是大约36.8%的概率等待时间会超过4分钟。

问题(iii)：等待时间在2到7分钟之间的概率 #

这个概率等于$P(2<X<7)=F(7)-F(2)$，代入公式计算：

P(2<X<7) = (1 - e^{-0.25*7}) - (1 - e^{-0.25*2}) = e^{-0.5} - e^{-1.75} ≈ 0.6065 - 0.1738 = 0.4327

大概43.3%的概率等待时间落在2到7分钟之间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cnmesr