求f(x)=axsin(x)e⁻ˣ的期望是否需计算指定积分？

没错，从期望的定义式出发，当$a=2$时，你确实需要通过计算积分$\int_{0}^{\infty}2x2\sin(x)e^{-x}dx$来求解这个随机变量的期望。

咱们再理一遍逻辑：

• 首先，随机变量$X$的期望定义是$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)dx$
• 题目里给出的概率密度函数$f(x)$在$x \leq 0$时取值为0，所以积分区间可以直接缩小到$0$到$\infty$
• 当$a=2$时，$f(x)=2x\sin(x)e^{{-x}$（$0<x<\infty$），把它代入期望定义式里，就得到了$\int_{0}}{\infty}x \cdot 2x\sin(x)e^{{-x}dx$，也就是你提到的$\int_{0}}{\infty}2x^2\sin(x)e{-x}dx$

当然，计算这个积分的时候，你不一定非得硬啃分部积分——可以利用已知的广义积分公式：对于$\int_{0}^{\infty}xn e^{-ax}\sin(bx)dx$，当$a>0$时，有现成的递推公式或者闭合解。比如这里$n=2$，$a=1$，$b=1$，代入公式就能快速得到结果，但本质上还是绕不开计算这个积分的过程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fernando Martinez