请求证明概率不等式$P(a\cap b)\ge P(a)+P(b)-1$

嘿，别着急，咱们一步步拆解这个证明，其实你已经离答案很近啦！

你已经从加法公式推导出了关键等式：

$P(a \cap b) = P(a) + P(b) - P(a \cup b)$

接下来只需要用到概率最基础的一条性质：

• 对于任意事件，它的概率取值范围一定是 $0 \le P(\text{事件}) \le 1$，所以并事件的概率必然满足 $P(a \cup b) \le 1$。

我们对这个不等式做个简单变形：

$-P(a \cup b) \ge -1$

把这个变形后的式子直接代入你已经得到的等式里：
$$
\begin{align*}
P(a \cap b) &= P(a) + P(b) - P(a \cup b) \
&\ge P(a) + P(b) - 1
\end{align*}
$$

到这里就完成证明啦！这个不等式其实是布尔不等式的下界形式，核心就是利用了“并事件的概率不可能超过1”这个常识性的性质。

如果还是有点抽象，你可以用具体例子验证：比如a是“掷骰子出偶数”（$P(a)=0.5$），b是“掷骰子出大于3的数”（$P(b)=0.5$），那么$P(a \cap b)=P({4,6})≈0.333$，而$P(a)+P(b)-1=0.5+0.5-1=0$，显然$0.333≥0$，完全符合这个不等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者larry mintz