$\mathbb{R}$与$\mathbb{R}^2$是否存在拟同构？拟等距相关问题咨询

问题1：$\mathbb{R}$与$\mathbb{R}^2$之间是否存在拟同构？ #

首先明确：这里的拟同构我们默认指拟等距同构（度量空间之间保持粗结构的等价映射），答案是不存在。

核心原因是拟等距同构会保持关键的粗不变量，比如渐近维数：$\mathbb{R}$作为1维欧氏空间，渐近维数为1；而$\mathbb{R}^2$的渐近维数是2，这两个不变量不匹配，因此不可能存在拟等距同构。

换个更直观的角度理解：如果存在这样的映射$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2$，$\mathbb{R}$中半径为$r$的球（长度为$2r$）的像，在$\mathbb{R}}2$中应该满足“线性增长”的要求，但$\mathbb{R}^{2$中线性增长的集合（比如半径为$Cr$的球）面积是$\pi(Cr)}2$，和$\mathbb{R}$中球的“线性量级大小”矛盾，违背了拟等距要求的“双向线性控制距离”条件。

问题2：$\mathbb{R}$与$\mathbb{R}^2$、$\mathbb{N}$与$\mathbb{Z}$之间是否存在拟等距？ #

我们分开分析：

• **$\mathbb{R}$与$\mathbb{R}^{2$：不存在拟等距**，理由和问题1完全一致——它们的渐近维数不同，而拟等距会保持这个不变量，因此不可能拟等距。你提到的自然嵌入只是拟等距嵌入，但像不是粗稠密的（比如$\mathbb{R}}2$中点$(0,r)$到$\mathbb{R}$嵌入的x轴的距离随$r$无限增大），所以不构成拟等距。
• $\mathbb{N}$与$\mathbb{Z}$：存在拟等距。我们可以构造具体映射验证：
  1. 从$\mathbb{N}$到$\mathbb{Z}$取恒等嵌入$f(n)=n$，这是拟等距嵌入，且$\mathbb{N}$在$\mathbb{Z}$中是粗稠密的（每个整数到$\mathbb{N}$的距离不超过1）。
  2. 反过来定义$g:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$为$g(k)=|k|$，这个映射满足：
     • 拟Lipschitz条件：$||k| - |k'|| \leq |k - k'|$，即$C=1,D=0$的拟Lipschitz；
     • $g$的像就是$\mathbb{N}$本身，自然是粗稠密的。
       结合这两个映射，就能证明$\mathbb{N}$和$\mathbb{Z}$是拟等距的。

问题3：度量空间$X$中的任意网都与$X$拟等距。请问关于哪些子集可拟同构或不可拟同构，还有其他结论吗？ #

首先确认：这里的“网”指的是$X$中的粗稠密集——即存在常数$R>0$，$X$中每个点到这个子集的距离都不超过$R$。这类子集确实都和$X$拟等距，核心逻辑是：

• 恒等嵌入子集到$X$是拟等距嵌入，且像粗稠密；
• 反过来，对每个$x\in X$，选子集中距离$x$不超过$R$的点$s_x$，这个映射满足拟Lipschitz条件（利用三角不等式：$d(s_x,s_y) \leq d(x,y)+2R$，同时$d(x,y) \leq d(s_x,s_y)+2R$），因此构成拟等距。

关于子集的拟等距，还有不少实用结论：

• 拟等距是等价关系：如果子集$A$拟等距于$B$，$B$拟等距于$C$，那么$A$拟等距于$C$，这意味着我们可以用等价类来分类空间或子集。
• 有限空间的特殊性：任何有限度量空间都拟等距于单点空间——因为有限空间的直径是有限值，映射到单点后很容易满足距离控制条件。
• 群的拟等距分类：对于有限生成群（装备字度量），拟等距类不依赖于生成元的选择；像$\mathbb{Z}^{n$和$\mathbb{Z}}m$，只有当$n=m$时才拟等距（因为渐近维数是拟等距不变量）。
• 增长速度的不变性：度量空间的增长速度（比如离散空间中，半径为$r$的球内的点数增长阶）是拟等距不变量。比如无限二叉树的增长是指数级，$\mathbb{Z}$是线性级，因此它们不可能拟等距。
• 非粗稠密子集的情况：如果子集不是$X$的粗稠密集，哪怕是拟等距嵌入，也不会和$X$拟等距。比如你提到的$\mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{R}^2$，像不是粗稠密的，因此不拟等距。
• 稠密子集的特例：如果子集在$X$中是稠密且粗稠密的，就一定拟等距于$X$。比如$\mathbb{Q}$在$\mathbb{R}$中是稠密且粗稠密的，因此$\mathbb{Q}$拟等距于$\mathbb{R}$，进而拟等距于$\mathbb{Z}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shakiba