等边三角形格点多边形类Pick定理系数x、y、z求解

这个问题其实是正方形格点Pick定理的经典推广，我们可以通过几个简单的测试图形来推导系数，过程很直观：

我们的目标是找到满足公式 A = xI + yB + z 的系数，其中：

• A 是多边形面积（以最小等边三角形面积1为单位）
• I 是多边形内部的格点数
• B 是多边形边界上的格点数

步骤1：选三个简单测试多边形列方程 #

我们用三个容易计算的基础图形来建立方程组：

1. 单个最小等边三角形
   这个图形的顶点全在格点上，面积 A=1，边界格点 B=3（就是三个顶点），内部没有格点 I=0。代入公式得：

   1 = 0*x + 3*y + z → 3y + z = 1  --- (1)
   

2. 两个相邻小三角形组成的菱形
   这个图形面积是两个最小三角形之和，A=2，边界格点是4个顶点（B=4），内部无格点（I=0）。代入公式得：

   2 = 0*x + 4*y + z → 4y + z = 2  --- (2)
   

3. 内部含1个格点的正六边形
   这个正六边形由6个最小三角形拼成，面积 A=6，边界格点是6个顶点（B=6），内部刚好有1个格点（I=1）。代入公式得：

   6 = 1*x + 6*y + z  --- (3)
   

步骤2：解方程组求系数 #

首先用方程(2)减去方程(1)，消去z：

(4y + z) - (3y + z) = 2 - 1 → y = 1

把y=1代入方程(1)，计算z：

3*1 + z = 1 → z = 1 - 3 = -2

再把y=1、z=-2代入方程(3)，计算x：

6 = x + 6*1 - 2 → x = 6 - 6 + 2 = 2

步骤3：验证系数正确性 #

我们用边长为2的大等边三角形（由4个最小三角形组成，面积A=4）验证：这个图形边界格点B=6，内部无格点I=0，代入公式：

A = 2*0 + 1*6 - 2 = 4

和实际面积完全一致，说明系数正确。

满足条件的系数为：

• x = 2
• y = 1
• z = -2

对应的面积公式为：A = 2I + B - 2

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KingLogic