环中位于两个相伴素理想间的素理想是否也为相伴素理想？

答案是不一定，我们可以通过构造具体的反例来验证这一点。

首先回忆一下相伴素理想的定义：环$A$的相伴素理想集合$\operatorname{Ass}(A)$，是所有形如$\operatorname{Ann}(a)$（其中$a\in A$，$\operatorname{Ann}(a)$表示$a$的零化子，即${r\in A \mid ra=0}$）的素理想的集合。

构造反例 #

取环$A = \mathbb{Z}[X,Y]/(2X, X^2, XY)$，我们来分析它的素理想和相伴素理想：

1. 素理想$P=(X)$：

   • 商环$A/(X)\cong\mathbb{Z}[Y]$，是整环，所以$(X)$是素理想。
   • 考虑元素$2\in A$，它的零化子$\operatorname{Ann}(2)=(X)$（因为$2\cdot X=2X=0$，且对任何$r\notin(X)$，$2r$不会属于理想$(2X,X^2,XY)$），因此$P=(X)\in\operatorname{Ass}(A)$。

2. 素理想$P'=(2,X,Y)$：

   • 这是$A$的极大理想，商环$A/(2,X,Y)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，是域，所以是素理想。
   • 考虑元素$X\in A$，它的零化子$\operatorname{Ann}(X)=(2,X,Y)$（因为$X\cdot2=2X=0$，$X\cdot X=X^2=0$，$X\cdot Y=XY=0$，且任何不在$(2,X,Y)$中的元素乘以$X$都不会为0），因此$P'=(2,X,Y)\in\operatorname{Ass}(A)$。

3. 中间素理想$Q=(2,X)$：

   • 商环$A/(2,X)\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[Y]$，是整环，所以$(2,X)$是素理想，且满足$P=(X)\subset Q=(2,X)\subset P'=(2,X,Y)$。
   • 现在证明$Q\notin\operatorname{Ass}(A)$：假设存在$a\in A$使得$\operatorname{Ann}(a)=(2,X)$，那么必须满足：
     • $a\cdot2=0$且$a\cdot X=0$；
     • 对任何$b\notin(2,X)$，$a\cdot b\neq0$。
   • 设$a$在$\mathbb{Z}[X,Y]$中的代表元为$a_0+a_1X+a_2Y+\text{高次项}$，模去理想$(2X,X^2,XY)$后：
     • $a\cdot2\equiv2a_0+2a_2Y\equiv0$，这要求$2a_0=0$（因为理想中元素都含$X$因子，常数项只能为0），即$a_0=0$；同时$2a_2Y$必须属于理想，但$2a_2Y$不含$X$因子，因此只能$a_2=0$。
     • 此时$a=a_1X$，那么$a\cdot Y=a_1XY=0$，但$Y\notin(2,X)$，这与$\operatorname{Ann}(a)=(2,X)$矛盾。因此不存在这样的$a$，即$Q\notin\operatorname{Ass}(A)$。

这个例子就完美说明了：即使素理想$Q$处于两个相伴素理想$P$和$P'$之间，$Q$也不一定是相伴素理想。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者evgeniamerkulova