三球体一维弹性碰撞技术问询：求各球体碰撞后的最终速度

我来帮你搞定这个三体同时弹性碰撞的问题——你碰到的依次碰撞结果不一样的情况太正常了，因为同时碰撞和分先后的两次两体碰撞根本是完全不同的物理过程，不能混为一谈。下面是一步步的推导过程：

已知条件（先明确坐标系） #

我们设定向右为正方向：

• 球A：质量 ( m_A = 2\ \text{kg} )，初速度 ( v_{Ai} = 4\ \text{m/s} )
• 球B：质量 ( m_B = 1\ \text{kg} )，初速度 ( v_{Bi} = 0\ \text{m/s} )（默认初始静止，题目未提及）
• 球C：质量 ( m_C = 7\ \text{kg} )，初速度 ( v_{Ci} = -3\ \text{m/s} )（从另一侧向B运动，与A方向相反）

核心方程（完全弹性碰撞的约束） #

对于一维无自旋的完全弹性碰撞（恢复系数 ( e=1 )），我们需要三个方程来联立求解：动量守恒、动能守恒，以及两个接触点的相对速度关系（恢复系数的定义）。

1. 动量守恒 #

系统总动量在碰撞前后守恒：

m_A·v_{Ai} + m_B·v_{Bi} + m_C·v_{Ci} = m_A·v_{Af} + m_B·v_{Bf} + m_C·v_{Cf}

代入数值计算：

2×4 + 1×0 + 7×(-3) = 2v_{Af} + v_{Bf} + 7v_{Cf}
8 - 21 = 2v_{Af} + v_{Bf} + 7v_{Cf}
2v_{Af} + v_{Bf} + 7v_{Cf} = -13  ——（1）

2. 动能守恒 #

完全弹性碰撞中系统总动能守恒：

(1/2)m_A·v_{Ai}² + (1/2)m_B·v_{Bi}² + (1/2)m_C·v_{Ci}² = (1/2)m_A·v_{Af}² + (1/2)m_B·v_{Bf}² + (1/2)m_C·v_{Cf}²

两边乘2简化后代入数值：

2×4² + 1×0² + 7×3² = 2v_{Af}² + v_{Bf}² + 7v_{Cf}²
32 + 63 = 2v_{Af}² + v_{Bf}² + 7v_{Cf}²
2v_{Af}² + v_{Bf}² + 7v_{Cf}² = 95  ——（2）

3. 恢复系数的相对速度关系 #

恢复系数 ( e=1 ) 意味着分离速度等于接近速度：

• 对于A-B接触对：( v_{Bf} - v_{Af} = v_{Ai} - v_{Bi} )（分离速度=接近速度）
  代入 ( v_{Bi}=0 )，得：

  v_{Bf} = v_{Af} + 4  ——（3）
  

• 对于B-C接触对：( v_{Cf} - v_{Bf} = v_{Bi} - v_{Ci} )（注意方向，C初始向左运动，接近速度是 ( v_{Bi} - v_{Ci} = 0 - (-3) = 3 )）
  代入得：

  v_{Cf} = v_{Bf} + 3  ——（4）
  

联立求解 #

把（3）代入（4），得到 ( v_{Cf} = v_{Af} + 7 )，再将 ( v_{Bf} ) 和 ( v_{Cf} ) 代入方程（1）：

2v_{Af} + (v_{Af}+4) + 7(v_{Af}+7) = -13
10v_{Af} + 53 = -13
10v_{Af} = -66
v_{Af} = -6.6\ \text{m/s}

然后依次算出：

• ( v_{Bf} = -6.6 + 4 = -2.6\ \text{m/s} )
• ( v_{Cf} = -2.6 + 3 = 0.4\ \text{m/s} )

验证动能守恒 #

代入末速度计算总动能：

2×(-6.6)² + (-2.6)² + 7×(0.4)² = 2×43.56 + 6.76 + 7×0.16 = 87.12 + 6.76 + 1.12 = 95

和初始总动能一致，说明解是正确的。

为什么依次碰撞结果不一致？ #

分先后的两次两体碰撞（先A碰B，再B碰C；或先C碰B，再B碰A）是两个独立的碰撞事件：第一次碰撞会改变B的速度，第二次碰撞是B带着新速度和第三个球碰撞。而同时碰撞是三个球之间的相互作用力同时存在，B的运动状态是由A和C同时施加的力共同决定的，物理过程完全不同，因此结果必然不一样。只有当三个球碰撞的时间间隔远大于碰撞的持续时间时，才能近似拆分成依次碰撞，但题目明确是“三者同时发生弹性碰撞”，所以必须用三体同时碰撞的解法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Samuel Berkun