如何下界界定随机变量左尾概率？寻求矩相关非平凡下界

当然有这类非平凡的下界方法！针对你提到的具有正均值、矩存在的一般随机变量X，我整理了几个基于矩构造的实用思路：

1. 基于二阶矩的经典下界 #

这是最常用的方法，利用X的一阶矩$\mu = E[X] > 0$和二阶矩$E[X^{2]$（方差$\sigma}2 = E[X^2] - \mu^2$），推导过程很直观：
我们拆分期望：
$$
\mu = E[X \cdot I(X \geq 0)] + E[X \cdot I(X < 0)]
$$
其中$I(\cdot)$是指示函数。注意到$X < 0$时，$X \cdot I(X < 0) \leq 0$，因此$\mu \leq E[X \cdot I(X \geq 0)]$。再对右边应用Holder不等式（取p=2，q=2）：
$$
E[X \cdot I(X \geq 0)] \leq \sqrt{E[X^2 \cdot I(X \geq 0)]} \cdot \sqrt{P(X \geq 0)}
$$
由于$X^2 \cdot I(X \geq 0) \leq X^{2$，所以$\sqrt{E[X}2 \cdot I(X \geq 0)]} \leq \sqrt{E[X^2]}$，代入后平方整理可得：
$$
P(X < 0) \geq \frac{\sigma^2}{\sigma2 + \mu^2}
$$
这个下界是非平凡的：只要X不是常数（$\sigma^2 > 0$），下界就大于0，且方差越大，下界越紧——完全符合“方差大的变量更可能偏离均值”的直觉。

2. 基于高阶偶矩的推广下界 #

如果X存在更高阶的偶矩（比如4阶、6阶矩），我们可以把上面的方法推广到k阶偶矩（k为偶数）：
对任意偶数k≥2，利用Holder不等式（取p=k，q=k/(k-1)），类似推导可得：
$$
P(X < 0) \geq 1 - \frac{\mu^k}{E[Xk]}
$$
这个下界的优势在于：如果X的高阶矩增长较慢（比如X服从亚高斯分布），更高阶的k能给出更紧的下界。比如当k=4时，若$E[X^4]$不大，这个下界会比二阶矩的结果更接近真实的左尾概率。

3. 矩生成函数驱动的下界 #

如果X的矩生成函数$M_X(s) = E[e^{sX}]$在某个s<0的区间内存在（因为X有正均值，我们关注s<0的情况），可以构造如下下界：
对任意s<0，$e^{sX} > 1$当且仅当X<0，因此根据反向思路的不等式变形：
$$
P(X < 0) = P(e^{sX} > 1) \geq \frac{M_X(s) - 1}{\sup_{X<0} e^{sX} - 1}
$$
不过这个方法需要先确定矩生成函数的形式，或者用矩展开式$M_X(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{s^n E[X^n]}{n!}$代入，转化为矩的函数。这种方法的灵活性更高，能根据X的矩特性调整s来优化下界。

注意事项 #

• 这些下界都是非平凡的（即严格大于0），前提是X不是恒等于μ的常数（此时左尾概率为0，但常数变量的方差和高阶中心矩都为0，下界也会退化为0，符合逻辑）。
• 对于大部分矩存在的随机变量，二阶矩的下界已经足够实用，高阶矩的下界通常用于需要更精确估计的场景。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arun