给定初始生成元集，寻找非交换有限群的其他无冗余生成元集

好问题！针对非交换有限群的无冗余生成元集（也就是每个元素都无法被其他元素的乘积表示的生成集），我们可以从几个实用方向入手，基于已知的无冗余生成集$S={g_1,g_2,\cdots,g_n}$来构造新的：

1. 单元素替换法 #

• 核心思路：把S中的某个元素$g_i$替换成**$g_i$与其他生成元的乘积/逆元组合**，只要满足两个条件：新元素不能被$S\setminus{g_i}$生成，且替换后的集合仍能生成整个G。
• 举个具体例子：假设$S={a,b}$是G的无冗余生成集，我们可以尝试把$a$替换成ab。由于S是无冗余的，$a$不能被${b}$生成，那么ab也不可能被${b}$生成（否则$a=(ab)b^{{-1}$就会被${b}$生成，矛盾）。此时新集合${ab,b}$必然是无冗余的：`ab`不能被${b}$生成，而$b$也不能被${ab}$生成（否则$b=(ab)}k$，进而$a=(ab)^k b^{{-1}$会被${ab}$生成，和S的无冗余性冲突），同时这个集合能生成G（因为$a=(ab)b}{-1}$）。
• 关键判断准则：替换后的新元素必须不属于由$S\setminus{g_i}$生成的子群，否则替换后的集合会冗余，且无法生成整个G。

2. 利用群的自同构映射 #

• 群的任何自同构$\varphi: G\rightarrow G$都会把无冗余生成集映射成新的无冗余生成集：
  • 假设S是无冗余的，那么$\varphi(S)$也一定是无冗余的。原因很简单：如果$\varphi(g_i)$能被$\varphi(S\setminus{g_i})$生成，那么$g_i=\varphi^{{-1}(\varphi(g_i))$就能被$\varphi}{-1}(\varphi(S\setminus{g_i}))=S\setminus{g_i}$生成，这和S的无冗余性矛盾。
• 实操方向：
  • 内自同构：取任意$g\in G$，构造$\varphi(x)=gxg^{-1}$，把S中每个元素替换成它的共轭元，得到的${g g_1 g^{-1}, g g_2 g^{-1}, \cdots, g g_n g^{-1}}$必然是无冗余生成集。
  • 外自同构：如果G存在外自同构（比如对称群$S_n$当$n\neq2,6$时），可以用外自同构把生成元映射到不同共轭类的元素，得到全新的无冗余生成集。

3. 生成元个数的调整（合并/拆分） #

• 如果G的生成元秩（即最小生成元个数）为$r\leq n$，我们可以尝试把S中的多个元素合并成一个新元素，同时去掉冗余部分，得到大小为r的无冗余生成集；反过来，如果n小于某个可行的生成元集大小（有限群的无冗余生成集大小可以在r到$|G|-1$之间波动），也可以拆分某个生成元为两个元素的乘积，只要这两个元素都不能被剩下的生成元生成。
• 例子：假设$S={a,b,c}$是无冗余生成集，G的最小生成元个数是2，我们可以尝试构造$d=bc$，验证${a,d}$是否生成G且无冗余：如果$a$不能被${d}$生成，$d$不能被${a}$生成，且$\langle a,d\rangle=G$，那么这就是一个新的无冗余生成集。

4. 结合极大子群构造 #

• 假设H是G的一个极大子群，由于S生成G，必然存在至少一个$g\in S$不在H中。我们可以先找到H的一个无冗余生成集T，再把这个不在H中的g加入T，得到的$T\cup{g}$就是G的无冗余生成集：
  • 理由：g不在H里，所以不能被T生成；而T中的每个元素t，都不能被$T\setminus{t}\cup{g}$生成（否则H会被$T\setminus{t}\cup{g}$生成，但H是极大子群，g不在H中，生成的会是整个G，和H是真子群矛盾）。
• 实例：比如$G=S_3$，极大子群$H={e,(12)}$的无冗余生成集是${(12)}$，加上不在H中的$(13)$，得到${(12),(13)}$，这就是$S_3$的一个无冗余生成集；换成$(23)$也能得到另一个合法的生成集。

拿到候选生成集T后，验证它无冗余的方法很直接：对每个$t\in T$，检查t是否属于由$T\setminus{t}$生成的子群。对于有限群，我们可以通过子群的阶快速判断：如果$|\langle T\setminus{t}\rangle| < |G|$，那t肯定不在这个子群里（因为$\langle T\rangle=G$，所以$\langle T\setminus{t}\rangle$是G的真子群）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RTK