关于函数f(x,y)=(x²-64)²-(y²-16)²临界点与鞍点的疑问

你完全没搞错第一步！先给你吃个定心丸——这9个临界点的推导逻辑是完全通顺的，不过关于判别式的结论有个小失误，咱们一步步拆解来看：

一、临界点的正确性验证 #

首先核对偏导数计算：

• 对x求偏导：f_x = 2(x²-64)·2x = 4x(x²-64) = 4x³ - 256x（你写的4x³-256漏了x项，但解x=0, ±8是对的）
• 对y求偏导：f_y = -2(y²-16)·2y = -4y(y²-16) = -4y³ + 64y，解为y=0, ±4

因为x有3个可能的临界点，y有3个可能的临界点，笛卡尔积下来自然是3×3=9个组合，也就是你列出的那9个点，这个逻辑完全没问题，一点都不反常——这类可分离变量的二元函数（形式为$f(x,y)=g(x)+h(y)$或$f(x,y)=g(x)-h(y)$），临界点就是两个单变量函数临界点的所有组合，而四次单变量函数通常有3个临界点，所以9个是很合理的结果。

二、判别式计算修正与极值判定 #

你这里有个小计算错误，不是所有临界点的判别式都小于0，咱们重新计算二阶偏导数和判别式：

1. 二阶偏导数：
   • f_xx = d/dx(f_x) = 12x² - 256
   • f_yy = d/dy(f_y) = -12y² + 64
   • f_xy = 0（函数不含xy交叉项，混合偏导为0）
2. 判别式公式：D = f_xx·f_yy - (f_xy)² = (12x²-256)(-12y²+64)

逐个分析9个临界点：

• (0,0)：$D=(0-256)(0+64)=-16384 < 0$ → 鞍点
• (0,4)、(0,-4)：$D=(0-256)(-12×16+64)=32768 > 0$，且$f_{xx}=-256 < 0$ → 局部极大值点，极大值为$f(0,±4)=(0-64)^2-(16-16)2=4096$
• (-8,0)、(8,0)：$D=(12×64-256)(0+64)=32768 > 0$，且$f_{xx}=512 > 0$ → 局部极小值点，极小值为$f(±8,0)=(64-64)^2-(0-16)2=-256$
• (-8,4)、(-8,-4)、(8,4)、(8,-4)：$D=(512)(-128)=-65536 < 0$ → 鞍点

三、总结 #

这个函数的9个临界点完全符合可分离变量函数的特性，一点都不反常；而极值判定需要准确计算二阶偏导数，最终结果是2个局部极大值点、2个局部极小值点，剩下5个是鞍点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nova_star