求定义在𝕋上的加倍映射T的可数周期点集，移位映射尝试未果

嘿，我来帮你理顺这个思路！你选二元单侧移位$\Sigma^+_2$的方向完全正确，只是可能没把它和加倍映射的共轭关系挖透～

加倍映射$T(x)=2x \pmod{1}$和$\Sigma^+_2={0,1}{\mathbb{N}}$上的单侧移位$\sigma$是拓扑共轭的，共轭映射$\phi: \Sigma^+2 \to \mathbb{T}$就是把二元序列转成二进制小数：
$$\phi((a_1,a_2,a_3,...)) = \sum{i=1}^\infty \frac{a_i}{2^i}$$
简单说就是：序列$(a_1a_2a_3...)$对应$0.a_1a_2a_3...$的二进制数（模1意义下）。

移位映射$\sigma$的周期点很好描述：就是那些无限重复某段有限二元串的序列。比如：

• 周期1的序列：$(0,0,0,...)$或$(1,1,1,...)$（对应$\mathbb{T}$里的0，因为1和0等价）；
• 周期2的序列：$(0,1,0,1,...)$或$(1,0,1,0,...)$；
• 周期n的序列：任意长度为n的二元串无限循环，比如$(a_1a_2...a_n,a_1a_2...a_n,...)$。

把这些序列通过$\phi$映射到$\mathbb{T}$上，就得到了$T$的周期点：

• 周期2序列$(0,1,0,1,...)$对应$0.\overline{01}_2 = \frac{1}{3}$，验证下：$T^2(\frac{1}{3})=2*(2*\frac{1}{3} \pmod{1})=2*\frac{2}{3} \pmod{1}=\frac{4}{3} \pmod{1}=\frac{1}{3}$，确实是周期点；
• 一般地，周期n的循环序列对应$x=\frac{k}{2^n -1}$，其中$k$是该n位二元串对应的整数（比如n=3时，串001对应k=1，$x=\frac{1}{7}$，满足$T^3(x)=x$）。

要得到可数的周期点集，我们只需要把所有这样的循环序列对应的$\mathbb{T}$中的点收集起来：

• 按周期长度n从小到大枚举：
  • n=1：${0}$；
  • n=2：${\frac{1}{3}, \frac{2}{3}}$；
  • n=3：${\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}}$；
  • ...
  • 对每个n≥1，取所有$\frac{k}{2^n -1}$（$k=1,2,...,2^n-2$，k=0对应0，避免重复）。

这个集合是可数的：因为每个n对应的周期点集是有限的，可数个有限集的并集依然是可数集。而且这其实就是$T$的全部周期点集，本身就满足可数的要求。

可能是没意识到：移位的周期点就是循环序列，而这些序列通过二进制映射完全对应到加倍映射的周期点。只要把这个对应关系打通，构造起来就顺理成章啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user532923