紧致可定向曲面S上离散子集A的聚点集B：B\A是否离散？

嘿，这个问题问得挺有水平的，咱们先把关键定义掰扯明白，再用具体例子来说明结论～

B\A 不一定是离散的，存在紧致可定向曲面和离散子集A，使得B\A是个非离散的集合。

先明确题目里的核心概念，避免理解偏差：

• 离散子集A⊂S：对每个p∈A，都能找到S里的一个开邻域U_p，使得U_p和A的交集只有{p}这一个点。
• 聚点集B：p属于B当且仅当p的每一个开邻域都和A相交（划重点：A里的点本身都是聚点，因为它们的邻域至少包含自己，所以B肯定包含A）。
• 这么一来，B\A其实就是A的极限点集——也就是那些不在A里，但每个邻域都能找到A中其他点的集合。

咱们拿闭圆盘D²（它是紧致可定向曲面的典型例子）来构造反例：

1. 定义A为所有形如 (1 - 1/n, r) 的点，其中：
   • n取正整数1、2、3……
   • r取[0,1]里的二进制有理数（也就是分母是2^m的有理数，m是非负整数）。
2. 验证A是离散子集：
   随便挑A里的一个点p=(1 - 1/n, r)，取一个以p为中心的开圆盘U_p，半径小于 min(1/(2n(n+1)), 1/(2^{m+1}))：
   • 对于其他k≠n的点(1 - 1/k, r')，和p的距离至少是1/n - 1/(n+1) = 1/(n(n+1))，根本进不了U_p；
   • 对于同一个n下的其他r'≠r，二进制有理数之间的最小距离是1/2^m，也进不了U_p。
     所以U_p和A的交集只有{p}，A确实是离散的。
3. 看B\A的样子：
   闭圆盘的边界是线段{(1,t)|t∈[0,1]}，边界上的任意一个点q=(1,t)，它的任何开邻域里都能找到A中的点（只要n足够大，r取接近t的二进制有理数就行），所以q属于B。而且这些边界点都不在A里，所以B\A就是这条完整的线段——这显然不是离散的，因为线段上随便一个点的邻域里都有线段上的其他点。

因为S是紧致豪斯多夫空间（曲面都是豪斯多夫的），所以聚点集B是闭集，但闭集去掉一个离散子集之后，不一定还是离散的，上面的例子就完美印证了这一点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nick L