关于"8字形柱面"是否为正则曲面的技术问询

你的判断完全正确，这个柱面( S )确实不是正则曲面，你的分析思路也非常到位——Do Carmo教材第62页的命题2正好戳中了这个曲面的核心问题。

核心依据拆解 #

• 命题2的本质要求：正则曲面的每一点都存在一个邻域，能表示为( z=f(x,y) )、( y=g(x,z) )或( x=h(y,z) )中的一种。这意味着曲面在该点附近必须是局部单值的函数图像，也就是投影到某个坐标平面时，邻域内的点是一一对应的。
• “8”字形柱面的问题所在：原曲线( C )在原点处自交，对应到柱面( S )上就是直线( {(0,0,z) \mid z \in \mathbb{R}} )。对于这条直线上的任意一点（比如( (0,0,0) )）：
  • 投影到xy平面：邻域内的点对应( C )在原点附近的“8”字分支，显然无法用单值函数( y=f(x) )或( x=f(y) )表示；
  • 投影到xz平面：同一个( (x,z) )可能对应两个不同的( y )值（因为( C )在原点附近有两个交叉分支）；
  • 投影到yz平面同理，同一个( (y,z) )可能对应两个不同的( x )值。
    这就导致该点附近无法满足命题2的显函数表示条件。

从正则曲面定义的补充验证 #

正则曲面要求存在局部参数化( \mathbf{x}: U \to \mathbb{R}^3 )（( U )是( \mathbb{R}^2 )的开集），满足：

1. ( \mathbf{x} )是同胚（参数与曲面上的点一一对应）；
2. ( \mathbf{x} )的Jacobi矩阵秩为2。

如果尝试构造( S )的参数化：取( C )的参数化( (x(t), y(t)) )，则柱面参数化为( \mathbf{x}(t,s) = (x(t), y(t), s) )。但由于( C )在原点自交，存在两个不同的参数( t_1 \neq t_2 )使得( x(t_1)=x(t_2)=0 )、( y(t_1)=y(t_2)=0 )，此时( \mathbf{x}(t_1,s) = \mathbf{x}(t_2,s) )对任意( s )成立——这破坏了参数化的同胚性（不同参数对应同一点），因此不满足正则曲面的定义。

综上，你的结论完全正确，这个“8”字形柱面因存在自交的直线区域，无法满足正则曲面的局部条件，因此不是正则曲面。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bernstein