能否用$C^d$单位球内的复代数向量逼近$C^d$中的单位向量？

问题：能否用$\mathbb{C}^{d$单位球中的复代数向量逼近$\mathbb{C}}d$中的单位向量？

答案是可以，具体推导过程如下：

设 $z=(z_1,z_2,\dots,z_d) \in \mathbb{C}^d$ 满足 $|z|=1$，任取 $\epsilon>0$。

我们知道复代数数在$\mathbb{C}$中是稠密的，基于这个核心性质，我们可以对每个分量 $z_i$ 找到对应的复代数数 $a_i$，同时满足两个条件：

• $|a_i| < |z_i|$：这个条件能保证构造出的向量 $a=(a_1,a_2,\dots,a_d)$ 满足 $|a| < |z|=1$，也就是$a$严格落在$\mathbb{C}^d$的单位球内部；
• $|a_i - z_i| < \frac{\epsilon^{1/2}}{2d}$：利用这个条件，我们可以计算向量的范数差：
  $$|a - z| = \sqrt{\sum_{i=1}^d |a_i - z_i|^2} < \sqrt{\sum_{i=1}^d \left(\frac{\epsilon^{1/2}}{2d}\right)^2} = \sqrt{d \cdot \frac{\epsilon}{4^d}} < \epsilon$$
  这里因为$d$是固定的正整数，$\frac{d}{4^d} < 1$（比如$d=1$时是1/4，$d=2$时是2/16=1/8，$d\geq1$时都小于1），所以最终的不等式显然成立。

综上，单位球面上的任意向量都能被$\mathbb{C}^d$单位球内的复代数向量任意精度地逼近。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tejas Bhojraj