关于定义满同态f:ℤ₂×ℤ₄→ℤ₂并确定其核与陪集的疑问

嘿，你找的核完全没问题！先给你确认这一点～因为满同态 ( f: \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_2 ) 满足 ( f((0,1))=0 )，要满足“满同态”的要求，必然得有 ( f((1,0))=1 )（不然像集就只有0，达不到满射的要求）。所以所有被映射到0的元素确实是第一个分量为0的那些，也就是你给出的 ( N = {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)} )。

接下来我们一步步搞定陪集和指数：

先明确陪集的定义 #

对于加法群 ( G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 )，子群 ( N ) 的陪集（因为是阿贝尔群，左陪集和右陪集完全一样）就是形如 ( g + N = {g + n \mid n \in N} ) 的集合，简单说就是把群元素 ( g ) 和 ( N ) 里的每个元素做加法运算，得到的所有结果组成的集合。

具体计算陪集 #

我们从 ( G ) 里挑一个不在 ( N ) 中的元素，比如 ( (1,0) )，然后计算它对应的陪集：

• ( (1,0) + (0,0) = (1,0) )
• ( (1,0) + (0,1) = (1,1) )
• ( (1,0) + (0,2) = (1,2) )
• ( (1,0) + (0,3) = (1,3) )

所以这个陪集就是 ( (1,0) + N = {(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)} )。

现在你可以核对一下 ( G ) 的所有8个元素：要么在 ( N ) 里，要么在这个新陪集里，没有遗漏也没有重复，所以 ( N ) 的全部陪集就是：

• ( N = {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)} )
• ( (1,0) + N = {(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)} )

计算核的指数 #

核的指数 ( [G:N] ) 就是 ( G ) 中 ( N ) 的陪集个数，这里一眼数出来就是2。另外用拉格朗日定理也能验证：

• ( |G| = |\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4| = 2 \times 4 = 8 )
• ( |N| = 4 )
• 所以 ( [G:N] = \frac{|G|}{|N|} = \frac{8}{4} = 2 )

完美解决啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SteffenH