计算⟨x|p̂|ψ⟩时微分算符与⟨x|交换步骤的数学依据咨询
你直觉里的“交换”其实是位置表象下的符号简化，本质上不是左矢和算符真的在代数意义上可交换——你的疑惑点非常准确，左矢属于对偶空间，算符作用在希尔伯特空间的右矢上，确实不能直接交换顺序。这个推导步骤的核心依据是动量算符在位置表象下的定义与矩阵元积分的等价性，具体可以拆成这几点理解：
位置表象波函数的基础定义
首先明确，右矢$|\psi\rangle$对应的位置表象波函数就是$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$，这是希尔伯特空间到函数空间的标准映射。动量算符的位置表象矩阵元展开
动量算符$\hat{p}$在位置表象下的矩阵元是$\langle x|\hat{p}|x'\rangle = \frac{\hbar}{i}\delta'(x - x')$（$\delta'$是狄拉克δ函数的导数）。根据算符作用的内积展开规则：
$$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \langle x|\hat{p}|x'\rangle \langle x'|\psi\rangle dx'$$
把矩阵元代入后，利用δ函数导数的积分性质$\int \delta'(a - b)f(b)db = -f'(a)$（调整符号后），积分结果就是：
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\hbar}{i}\delta'(x - x')\psi(x') dx' = \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\psi(x)$$
而$\psi(x)$就是$\langle x|\psi\rangle$，所以自然得到你写的等式。符号简化的本质
我们通常把$\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$称为动量算符在位置表象下的“表示”——也就是说，当我们要计算$\hat{p}$对右矢$|\psi\rangle$的作用在位置表象下的结果时，就等价于用这个导数算符作用在$\langle x|\psi\rangle$上。所以$\langle x|\hat{p}|\psi\rangle = \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\langle x|\psi\rangle$是一种简洁的符号写法，而非左矢与算符的交换操作。
另外，从对易关系也能反向验证：已知$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$，在位置表象下$\hat{x}$的表示是“乘以x”，假设$\hat{p}$的表象是算符$O(x)$，那么对任意$\psi(x)$有：
$$x O(x)\psi(x) - O(x)x\psi(x) = i\hbar \psi(x)$$
解这个方程就能得到$O(x) = \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$，这也反过来印证了位置表象下$\hat{p}$的表示形式，支撑你推导步骤的合理性。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Clovis
