生存分析中风险函数表达式推导步骤的合理性求证

嘿，我来帮你把这个推导的合理性讲清楚！其实你已经走对了大半——你的式子$$h(t)=rac{-rac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$$完全是对的，而结论里的$$h(t)=-rac{d}{dt}\log S(t)$$和你的式子本质是同一个东西，只是用了微积分里的链式法则做了变形而已。

咱们一步步拆解验证：

• 从已知定义出发
  首先，风险函数的核心定义是：
  $$h(t)=rac{f(t)}{S(t)}$$
  而根据生存函数和概率密度函数的关系，我们知道$$f(t)=-rac{dS(t)}{dt}$$，把这个代入风险函数的定义，就得到了你疑惑的式子：
  $$h(t)=rac{-rac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$$
  这一步你完全没出错。

• 用链式法则推导对数形式
  接下来看对数的导数。根据微积分的链式法则，对于复合函数$$\log S(t)$$，它对t的导数是：
  $$rac{d}{dt}\log S(t) = rac{1}{S(t)} \cdot rac{dS(t)}{dt}$$
  现在给这个等式两边同时乘以-1，就得到：
  $$-rac{d}{dt}\log S(t) = -rac{1}{S(t)} \cdot rac{dS(t)}{dt} = rac{-rac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$$

• 对比两个式子
  你看，上面这个结果和你从定义推导出来的$$h(t)=rac{-rac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$$完全相等，所以自然就能得出：
  $$h(t)=-rac{d}{dt}\log S(t)$$

额外提一句：这里的前提是生存函数$$S(t)>0$$（毕竟在个体还没全部失效的时间点，生存概率肯定是大于0的），所以$$\log S(t)$$是有定义的，不用担心对数无意义的问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Magnus