如何分解恰当微分？求对应原函数df表示$(x+y)dx + (x-y)dy$

别担心，我来一步步带你找到这个恰当微分的原函数！你已经判断对了——这确实是恰当微分，因为$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = 1$（这里$M = x+y$，$N = x-y$），只是之前试的$\frac{1}{2}(x+y)^2$没能匹配上$-y$项，那咱们用标准的恰当微分求原函数的方法来搞定：

步骤1：对$M$关于$x$积分（把$y$视为常数） #

既然$M = \frac{\partial f}{\partial x} = x + y$，我们对$x$做不定积分：

f(x,y) = ∫(x + y)dx + g(y)

计算这个积分后得到：

f(x,y) = ½x² + xy + g(y)

这里的$g(y)$不是普通的常数哦——因为我们是对$x$积分，所以这个“积分常数”其实是只关于$y$的函数，接下来就要用$N$的条件来确定它。

步骤2：利用$N = \frac{\partial f}{\partial y}$求解$g(y)$ #

我们已知$N = x - y = \frac{\partial f}{\partial y}$，那对步骤1得到的$f(x,y)$求关于$y$的偏导数：

∂f/∂y = x + g’(y)

把这个结果和$N = x - y$对比，就能得到：

x + g’(y) = x - y

两边消去$x$，直接得出：

g’(y) = -y

步骤3：对$g’(y)$积分得到$g(y)$ #

现在对$g’(y) = -y$做不定积分：

g(y) = ∫-y dy = -½y² + C

这里的$C$是任意常数，如果只需要一个原函数的话，完全可以取$C=0$。

步骤4：组合得到最终的原函数 #

把$g(y)$代入步骤1的$f(x,y)$表达式，就得到了完整的原函数：

f(x,y) = ½x² + xy - ½y² + C

也可以整理成更简洁的形式：

f(x,y) = ½(x² + 2xy - y²) + C

验证一下正确性 #

咱们来核对偏导数：

• 对$x$求偏导：$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y$，正好对应题目里的$(x+y)dx$项；
• 对$y$求偏导：$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y$，完美匹配$(x-y)dy$项！

至于你之前试的$\frac{1}{2}(x+y)^2$，展开后是$\frac{1}{2}x² + xy + \frac{1}{2}y²$，它的$y$偏导是$x + y$，和题目里的$N=x-y$差了$-2y$，这就是为什么得不到负$y$项的原因——少了$-½y²$这个关键项呀。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者oldselflearner1959