隐函数求导困惑：经济学论文中导数推导问题求助

嘿，我来帮你捋捋这个导数推导的问题！先别担心问题浅显，经济学论文里的隐函数求导很容易在细节上踩坑～

首先我们把原方程变形为隐函数形式，这样更适配隐函数定理的应用逻辑：

( c^* \left[ r + b(e) + aG(c^) \right] = b(e)y + a\int_{0}^{c} c , dG(c) )

假设你是对变量( e )求导（如果是其他变量，方法完全可以照搬），我们先定义隐函数( F(c^, e) = 0 )：
( F(c^, e) = c^* \left[ r + b(e) + aG(c^) \right] - b(e)y - a\int_{0}^{c} c , dG(c) = 0 )

根据隐函数定理，( \frac{dc^}{de} = -\frac{\partial F/\partial e}{\partial F/\partial c^} )，接下来我们分步计算两个偏导数：

1. 计算( \partial F/\partial e ) #

对( e )求偏导时，要把( c^* )看作常数（隐函数定理里的偏导数规则）：

• 第一项乘积的导数：( c^* \cdot b'(e) )
• 第二项的导数：( -b'(e)y )
• 积分项和( e )无关，导数为0
  所以合并后：
  ( \frac{\partial F}{\partial e} = b'(e)(c^* - y) )

2. 计算( \partial F/\partial c^* ) #

这里是最容易出错的地方，要注意乘积求导和积分上限函数求导两个细节：

• 乘积项求导：( [r + b(e) + aG(c^)] + c^ \cdot aG'(c^*) )（这里( G'(c) )就是分布函数对应的概率密度( g(c) )）
• 积分项求导：根据莱布尼茨公式，( \frac{d}{dc^*}\int_{0}{c^} c dG(c) = c^ g(c^) )，所以第三项的导数是( -a c^ g(c^*) )

把这些加起来会发现，后面的( a c^* g(c^) )和( -a c^ g(c^) )直接抵消了，最后得到：
( \frac{\partial F}{\partial c^} = r + b(e) + aG(c^*) )

3. 代入隐函数定理公式 #

把上面两个结果代入公式，就能得到最终的导数：
( \frac{dc^}{de} = -\frac{b'(e)(c^ - y)}{r + b(e) + aG(c^)} = \frac{b'(e)(y - c^)}{r + b(e) + aG(c^*)} )

你可能踩的坑 #

我猜你之前推导出错，大概率是这几个原因：

• 没先把分式方程转成隐函数形式，直接对分式求导时漏了链式法则的项；
• 积分上限函数求导时搞错了，忘记( dG(c) = g(c)dc )，导致积分求导结果出错；
• 计算偏导数时混淆了变量关系，比如求( \partial F/\partial e )时误把( c^* )当成变量求导了。

如果你的求导变量不是( e )，比如是( y )或者( r )，可以直接套用这个逻辑，替换对应的偏导数计算就行～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mark