证明狄利克雷积分存在及Spivak第19章43题技术问询

我来一步步梳理这道题的解法，尽量讲得清晰直观：

问题a）：分部积分证明等式与广义积分存在性 #

第一步：证明分部积分等式 #

首先回忆分部积分的核心公式：
$$\int_a^b u , dv = uv\bigg|_a^b - \int_a^b v , du$$
我们需要给$\int_a^b \frac{\sin x}{x}dx$选择合适的$u$和$dv$：

• 令$u = \frac{1}{x}$，那么$du = -\frac{1}{x^2}dx$
• 令$dv = \sin x , dx$，那么$v = -\cos x$

把这些代入分部积分公式：
$$\int_a^b \frac{\sin x}{x}dx = \left( \frac{1}{x} \cdot (-\cos x) \right)\bigg|_a^b - \int_a^b (-\cos x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)dx$$

化简右边的两项：

1. 边界项：$\left. -\frac{\cos x}{x} \right|_a^b = -\left( \frac{\cos b}{b} - \frac{\cos a}{a} \right) = \frac{\cos a}{a} - \frac{\cos b}{b}$
2. 积分项：$-\int_a^b \frac{\cos x}{x^2}dx$

合并起来就得到了要证明的等式：
$$\int_a^b \frac{\sin x}{x}d{x}=\frac{\cos a}{a}-\frac{\cos b}{b} -\int_a^b\frac{\cos x}{x^2}d{x}$$

第二步：证明$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}$存在 #

我们分两个极限方向来分析：

• **当$a \to 0^{+$时**：左边的积分$\int_a}b \frac{\sin x}{x}dx$的极限存在。因为$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，我们可以补充定义$x=0$时函数值为1，这样$\frac{\sin x}{x}$在$[0, b]$上是连续函数，自然可积，所以$\lim_{a \to 0^+} \int_a^b \frac{\sin x}{x}dx = \int_0^b \frac{\sin x}{x}dx$，这个极限是存在的。
• 当$b \to \infty$时：看等式右边的两项：
  • $\frac{\cos b}{b}$：因为$|\cos b| \leq 1$，分母$b$趋向无穷大，所以$\lim_{b \to \infty} \frac{\cos b}{b} = 0$
  • 积分$\int_a^\infty \frac{\cos x}{x^2}dx$：注意到$|\frac{\cos x}{x^2}| \leq \frac{1}{x^{2}$，而$\int_a}\infty \frac{1}{x^2}dx$是$p=2>1$的$p$-积分，显然收敛。由比较判别法可知，这个积分绝对收敛，因此本身一定收敛。

结合两个方向的极限分析，等式两边的极限都存在，所以$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$作为广义积分是存在的。

问题c）：极限证明（原式未完整） #

题目给出的式子不完整，经典完整形式通常是：
$$\lim_{\lambda \to \infty}\int_0^\pi \sin\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)t\bigg[\frac{2}{t}-\frac{1}{\sin(t/2)}\bigg]dt = 0$$

如果是这个形式，解法思路如下：

1. 先拆分被积函数：利用三角函数恒等式$\sin\left(\lambda+\frac{1}{2}\right)t = \sin\lambda t \cos(t/2) + \cos\lambda t \sin(t/2)$，把积分拆成两个独立的积分项。
2. 分析括号内的函数：当$t \to 0^+$时，对$\sin(t/2)$做泰勒展开可得$\sin(t/2) \approx t/2 - t^3/48$，因此$\frac{1}{\sin(t/2)} \approx \frac{2}{t} + \frac{t}{24}$，也就是说$\frac{2}{t} - \frac{1}{\sin(t/2)}$是$O(t)$阶的函数，在$[0, \pi]$上连续有界。
3. 应用黎曼-勒贝格引理：对于$[a,b]$上可积的函数$f(t)$，有$\lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b f(t)\sin\lambda t dt = 0$，同理$\lim_{\lambda \to \infty} \int_a^b f(t)\cos\lambda t dt = 0$。将这个引理应用到拆分后的两个积分项上，就能得出整个积分的极限为0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fhoenix