群论中GL(n,F)里平延的乘积是否仍为平延？

好问题！咱们先把核心概念再明确一遍，再一步步拆解这个问题：

首先，你提到的$X_{ij}(a)$是初等平延（transvection），而它在$GL(n,F)$中的共轭元也被称为平延——平延的本质特征是：属于$GL(n,F)$，且满足$\text{rank}(g - I_n) = 1$、$\det(g) = 1$（这里$I_n$是n阶单位矩阵）。

接下来分情况讨论你的问题：

1. 两个平延的乘积：不一定是平延 #

咱们举几个具体例子：

• 特例：同根子群的平延乘积：比如$X_{ij}(a)X_{ij}(b) = X_{ij}(a+b)$，这显然还是平延——因为它属于根子群$X_{ij}$，满足平延的所有条件。
• 一般情况：不同根子群的平延乘积：比如取$n=3$，$X_{12}(1)$和$X_{13}(1)$的乘积：
  这个乘积矩阵是单位矩阵加上$(1,2)$位置的1和$(1,3)$位置的1，它的$g - I_3$是一个秩为2的矩阵，不满足平延“秩1”的核心要求，所以不是平延。
  再比如$n=2$时，$X_{12}(1)$和$X_{21}(1)$的乘积：
  $$
  \begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\1&1\end{pmatrix}
  $$
  计算它的$g - I_2$：
  $$
  \begin{pmatrix}1&1\1&0\end{pmatrix}
  $$
  秩为2，同样不符合平延的定义，所以也不是平延。

2. 多个平延的乘积：大概率不是平延 #

更本质的结论是：所有平延生成的子群是$SL(n,F)$（当$n\geq2$、$F$为域时）——也就是特殊线性群，所有行列式为1的n阶可逆矩阵。

而$SL(n,F)$中绝大多数元素都不是平延：比如$n=2$时，矩阵$\begin{pmatrix}3&0\0&1/3\end{pmatrix}$（在实数域$\mathbb{R}$上），它属于$SL(2,\mathbb{R})$，但$g - I_2$的秩为2，完全不符合平延的条件；再比如$n=3$时，$X_{12}(1)X_{23}(1)X_{13}(1)$的乘积，其$g - I_3$的秩也是2，同样不是平延。

总结 #

平延的乘积只有在非常特殊的情况下才是平延（比如同根子群的平延相加），绝大多数情况下，平延的乘积会得到$SL(n,F)$中不属于平延的元素。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fhn